Question Number 108237 by Study last updated on 15/Aug/20
$${y}=\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}\right) \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}=? \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 15/Aug/20
$${y}=\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−{log}\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)+{logx} \\ $$$${y}=\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}−\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$
Answered by john santu last updated on 15/Aug/20
$$\:\:\:\:\:\frac{\spadesuit{JS}\spadesuit}{#\bullet#} \\ $$$$\:{y}\:=\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}}\right) \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}−\left(\frac{{x}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\left(\frac{\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}−\left(\frac{{x}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\right) \\ $$$$=\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\right) \\ $$$$=\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{{x}} \\ $$
Commented by bemath last updated on 15/Aug/20
$${the}\:{simple}\:{answer} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Aug/20
$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\:+\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }\right)^{'} }{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }}\:=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}\:+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{−\mathrm{2x}^{−\mathrm{3}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}−\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }}\:=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }.\frac{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}−\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} }\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$