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Question Number 123667 by sahnaz last updated on 27/Nov/20

y=(x+1)^3 (x−1)^2 d^2 y=?

$$\mathrm{y}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Nov/20

y(x)=(x+1)^3 (x−1)^2 ⇒y(x)=(x+1)(x^2 −1)^2 ⇒ (dy/dx)=(x^2 −1)^2 +2(2x)(x^2 −1)(x+1) =(x^2 −1)^2 +4x(x+1)(x^2 −1) =(x^2 −1)^2 +4(x^2 +x)(x^2 −1) ⇒ (d^2 y/dx^2 ) =2(2x)(x^2 −1)+4{(2x+1)(x^2 −1)+2x(x^2 +x)} =4x(x^2 −1)+4{2x^3 −2x+x^2 −1+2x^3 +2x^2 } =4x^3 −4x+4{4x^3 +3x^2 −2x−1} =4x^3 −4x+16x^3 +12x^2 +8x−4 =20x^3 +12x^2 +4x−4

$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\left(\mathrm{2x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{2x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\left\{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{4x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\left\{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right\} \\ $$$$=\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}+\mathrm{4}\left\{\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right\} \\ $$$$=\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}+\mathrm{16x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8x}−\mathrm{4} \\ $$$$=\mathrm{20x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{4} \\ $$

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