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Question Number 218103 by ArshadS last updated on 29/Mar/25

x+(1/x)=3 , x^5 +(1/x^5 )=?

$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}\:,\:{x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=? \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 29/Mar/25

x+(1/x)=3 , x^5 +(1/x^5 )=? ▶(x+(1/x)=3)^2 x^2 +(1/x^2 )=7 ▶(x+(1/x)=3)^3 x^3 +(1/x^3 )+3(x+(1/x))=27 x^3 +(1/x^3 )=18 ▶(x^2 +(1/x^2 ))(x^3 +(1/x^3 ))=126 x^5 +(1/x^5 )+x+(1/x)=126 x^5 +(1/x^5 )+3=126 x^5 +(1/x^5 )=123

$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}\:,\:{x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=? \\ $$$$\blacktriangleright\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{7} \\ $$$$\blacktriangleright\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{3}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\mathrm{27} \\ $$$$\:\:\:\:{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{18} \\ $$$$\blacktriangleright\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)\left({x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\right)=\mathrm{126} \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }+{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{126} \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }+\mathrm{3}=\mathrm{126} \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=\mathrm{123} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 29/Mar/25

x+(1/x)=3 , x^5 +(1/x^5 )=? x^2 =3x−1⇒x^4 =9x^2 −6x+1 =9(3x−1)−6x+1 =21x−8 ⇒x^5 =21x^2 −8x=21(3x−1)−8x=55x−21 (1/x)=3−x⇒(1/x^2 )=x^2 −6x+9 ⇒(1/x^3 )=x−6+(9/x)=x−6+9(3−x)=−8x+21 ⇒(1/x^4 )=−8+((21)/x)=−8+21(3−x)=55−21x ⇒(1/x^5 )=((55)/x)−21=55(3−x)−21=144−55x x^5 +(1/x^5 )=55x−21+144−55x=123

$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}\:,\:{x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=? \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\Rightarrow{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{9}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{6}{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{21}{x}−\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{5}} =\mathrm{21}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}=\mathrm{21}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{8}{x}=\mathrm{55}{x}−\mathrm{21} \\ $$$$\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}−{x}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{9} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }={x}−\mathrm{6}+\frac{\mathrm{9}}{{x}}={x}−\mathrm{6}+\mathrm{9}\left(\mathrm{3}−{x}\right)=−\mathrm{8}{x}+\mathrm{21} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }=−\mathrm{8}+\frac{\mathrm{21}}{{x}}=−\mathrm{8}+\mathrm{21}\left(\mathrm{3}−{x}\right)=\mathrm{55}−\mathrm{21}{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=\frac{\mathrm{55}}{{x}}−\mathrm{21}=\mathrm{55}\left(\mathrm{3}−{x}\right)−\mathrm{21}=\mathrm{144}−\mathrm{55}{x} \\ $$$$\: \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=\mathrm{55}{x}−\mathrm{21}+\mathrm{144}−\mathrm{55}{x}=\mathrm{123} \\ $$

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