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Question Number 102128 by Study last updated on 06/Jul/20

∫((x+1)/((√x) +1))dx=?

$$\:\int\frac{{x}+\mathrm{1}}{\sqrt{{x}}\:+\mathrm{1}}{dx}=? \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 06/Jul/20

∫(x/((√x)+1))+(1/((√x)+1))=∫((2u^3 )/(u+1))du+∫((2u)/(u+1))du { take x as u^2 =2∫((u^3 +1)/(u+1))−(1/(u+1))du+2∫1−(1/(u+1))du =2∫u^2 −u+1−2log(u+1)+2u−2log(u+1) =2∫(u−1)^2 +u du+2u−4log(u+1) =2∫(u−1)^2 du+u^2 +2u−4log(u+1) =(2/3)(u−1)^3 +u^2 +2u−4log(u+1)+C =(2/3)((√x)−1)^3 +x+2(√x)−4log((√x)+1)+C

$$\int\frac{{x}}{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}=\int\frac{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} }{{u}+\mathrm{1}}{du}+\int\frac{\mathrm{2}{u}}{{u}+\mathrm{1}}{du}\:\:\:\:\left\{\:\:\:{take}\:{x}\:\:{as}\:{u}^{\mathrm{2}} \right. \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{{u}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{u}+\mathrm{1}}{du}+\mathrm{2}\int\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{u}+\mathrm{1}}{du} \\ $$$$=\mathrm{2}\int{u}^{\mathrm{2}} −{u}+\mathrm{1}−\mathrm{2}{log}\left({u}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{u}−\mathrm{2}{log}\left({u}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\int\left({u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +{u}\:{du}+\mathrm{2}{u}−\mathrm{4}{log}\left({u}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\int\left({u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {du}+{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{u}−\mathrm{4}{log}\left({u}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left({u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{u}−\mathrm{4}{log}\left({u}+\mathrm{1}\right)+{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +{x}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}−\mathrm{4}{log}\left(\sqrt{{x}}+\mathrm{1}\right)+{C} \\ $$$$ \\ $$

Answered by abdomathmax last updated on 06/Jul/20

I =∫ ((x+1)/((√x)+1))dx changement (√x)=t give x =t^2 ⇒ I =∫ ((t^2 +1)/(t+1))(2t)dt =2 ∫ ((t^3 +t)/(t+1)) dt =2 ∫ (((t+1−1)(t^2 )+t)/(t+1))dt =2 ∫ t^2 dt +2 ∫((−t^2 +t)/(t+1)) dt =(2/3)t^3 −2 ∫((t^2 −t)/(t+1))dt but ∫ ((t^2 −t)/(t+1))dt =∫ ((t(t+1−1)−t)/(t+1))dt =∫ t dt−2 ∫ (t/(t+1))dt =(t^2 /2)−2 ∫ ((t+1−1)/(t+1))dt =(t^2 /2)−2t +2ln∣t+1∣ +c ⇒ I =(2/3)t^3 −t^2 +4t−4ln∣t+1∣ +C I=(2/3)((√x))^(3 ) −x +4(√x)−4ln∣(√x)+1∣ +C

$$\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\mathrm{changement}\:\sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\:\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dt}\:+\mathrm{2}\:\int\frac{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{2}\:\int\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\mathrm{but} \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\int\:\frac{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\int\:\mathrm{t}\:\mathrm{dt}−\mathrm{2}\:\int\:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\:\int\:\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{2t}\:+\mathrm{2ln}\mid\mathrm{t}+\mathrm{1}\mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4t}−\mathrm{4ln}\mid\mathrm{t}+\mathrm{1}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{3}\:} −\mathrm{x}\:+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{4ln}\mid\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 06/Jul/20

do you want to get another answer...!

$$\mathrm{do}\:\mathrm{you}\:\mathrm{want}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\mathrm{another}\:\mathrm{answer}...! \\ $$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 07/Jul/20

Sorry sir!

$${Sorry}\:{sir}!\: \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 06/Jul/20

I=∫((x+1)/((√x)+1))dx , Let t=(√x) ⇒((x+1)/((√x)+1))=((t^2 +1)/(t+1))=t−1+(2/(t+1)) ⇒I=∫{(√x)−1+(2/((√x)+1))}dx=∫{x^(1/2) −1+((2((√x)−1)/(x−1))}dx =∫{x^(1/2) −1−(2/(x−1))}dx+2∫((√x)/(x−1))dx , u^2 =x ⇒2udu=dx =((2x^(3/2) )/3)−x−2ln∣x−1∣+2∫(u/(u^2 −1))∙2udu =((2x^(3/2) )/3)−x−2ln∣x−1∣+4∫(u^2 /(u^2 −1))du K=∫(u^2 /(u^2 −1))du=∫{1+(1/(u^2 −1))}du=u−tanh^(−1) (u) ⇒I=((2x^(3/2) )/3)−x−2ln∣x−1∣+(√x)−tanh^(−1) ((√x)) =((2(√x^3 ))/(√3))+(√x)−x−2ln∣x−1∣−tanh^(−1) ((√x))+C

$$\mathcal{I}=\int\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\:,\:\:\mathrm{Let}\:\mathrm{t}=\sqrt{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathcal{I}=\int\left\{\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}\right\}\mathrm{dx}=\int\left\{\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right.}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\int\left\{\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right\}\mathrm{dx}+\mathrm{2}\int\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:,\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{2udu}=\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{x}−\mathrm{2ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\centerdot\mathrm{2udu} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{x}−\mathrm{2ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mathrm{4}\int\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{du} \\ $$$$\mathcal{K}=\int\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{du}=\int\left\{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right\}\mathrm{du}=\mathrm{u}−\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathcal{I}=\frac{\mathrm{2x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{x}−\mathrm{2ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}{\sqrt{\mathrm{3}}}+\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{x}−\mathrm{2ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)+\mathcal{C} \\ $$

Answered by OlafThorendsen last updated on 07/Jul/20

u = (√x)+1 ⇒ dx = 2(u−1)du ∫(((u−1)^2 +1)/u)2(u−1)du ∫2((u^2 −2u+2)/u)(u−1)du ∫2(u^2 −2u+2)(1−(1/u))du ∫2(u^2 −2u+2−u+2−(2/u))du ∫2(u^2 −3u+4−(2/u))du 2((u^3 /3)−(3/2)u^2 +4u−2ln∣u∣)+C (2/3)((√x)+1)^3 −3((√x)+1)^2 +8((√x)+1)−4ln((√x)+1)+C

$${u}\:=\:\sqrt{{x}}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{dx}\:=\:\mathrm{2}\left({u}−\mathrm{1}\right){du} \\ $$$$\int\frac{\left({u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{u}}\mathrm{2}\left({u}−\mathrm{1}\right){du} \\ $$$$\int\mathrm{2}\frac{{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{u}+\mathrm{2}}{{u}}\left({u}−\mathrm{1}\right){du} \\ $$$$\int\mathrm{2}\left({u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{u}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{u}}\right){du} \\ $$$$\int\mathrm{2}\left({u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{u}+\mathrm{2}−{u}+\mathrm{2}−\frac{\mathrm{2}}{{u}}\right){du} \\ $$$$\int\mathrm{2}\left({u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{u}+\mathrm{4}−\frac{\mathrm{2}}{{u}}\right){du} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\frac{{u}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{u}−\mathrm{2ln}\mid{u}\mid\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\sqrt{{x}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\sqrt{{x}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}\left(\sqrt{{x}}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{4ln}\left(\sqrt{{x}}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{C} \\ $$

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