Question Number 214712 by efronzo1 last updated on 17/Dec/24
$$\:\:\:\cancel{\underline{\underbrace{\boldsymbol{{x}}}}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 17/Dec/24
$${r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{r}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({r}−\mathrm{1}\right)\left({r}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${r}=\mathrm{1},\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}} ={A}×\mathrm{1}^{{n}} +{B}×\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${a}_{\mathrm{0}} ={A}+{B}=\mathrm{2} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} ={A}+\mathrm{2}{B}=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{B}=\mathrm{3},\:{A}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}} =\mathrm{3}×\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}\:\checkmark \\ $$
Answered by mr W last updated on 17/Dec/24
$${alternative}\:{approach} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{2}} −{a}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}\left({a}_{{n}+\mathrm{1}} −{a}_{{n}} \right) \\ $$$${say}\:{b}_{{n}} ={a}_{{n}+\mathrm{1}} −{a}_{{n}} \\ $$$${b}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}{b}_{{n}} \:\:\leftarrow\:{G}.{P}. \\ $$$$\Rightarrow{b}_{{n}} =\mathrm{2}^{{n}} ×{b}_{\mathrm{0}} =\mathrm{2}^{{n}} \left({a}_{\mathrm{1}} −{a}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{3}×\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{1}} −{a}_{{n}} =\mathrm{3}×\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${a}_{{n}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{3}×\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$...... \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} −{a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{3}×\mathrm{2}^{\mathrm{0}} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{1}} −{a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+...+\mathrm{2}^{{n}} \right)=\mathrm{3}×\frac{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{1}} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}×\frac{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{1}}+\mathrm{2}=\mathrm{3}×\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}} =\mathrm{3}×\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}\:\checkmark \\ $$