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Question Number 149471 by ArielVyny last updated on 05/Aug/21

on distribue au hasard 8 boules b_1 ...b_8 dans 6 tiroirs t_1 ...t_6 .soit A_i l′evenement “le tiroir t_i est vide” les evenements A_1 et A_2 sont-ils independants ?

$${on}\:{distribue}\:{au}\:{hasard}\:\mathrm{8}\:{boules}\:{b}_{\mathrm{1}} ...{b}_{\mathrm{8}} \\ $$$${dans}\:\mathrm{6}\:{tiroirs}\:{t}_{\mathrm{1}} ...{t}_{\mathrm{6}} .{soit}\:{A}_{{i}} \:{l}'{evenement} \\ $$$$``{le}\:{tiroir}\:{t}_{{i}} \:{est}\:{vide}''\:{les}\:{evenements}\:{A}_{\mathrm{1}} {et} \\ $$$${A}_{\mathrm{2}} {sont}-{ils}\:{independants}\:? \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 05/Aug/21

L′evenement A_1 a pour probabilite p(A_1 ) = ((5/6))^8 car le tiroir t_1 vide revient a distribuer les 8 boules dans les 5 autres tiroirs que t_1 . Idem pour A_2 . p(A_2 ) = ((5/6))^8 . L′evenement A_1 ∩A_2 est realise quand les 2 tiroirs t_1 et t_2 sont vides avec la probabilite p(A_1 ∩A_2 ) = ((4/6))^8 Or p(A_1 ∩A_2 ) ≠ p(A_1 )p(A_2 ). (5,41% ≠ 3,90%). Les evenements A_1 et A_2 sont donc dependants.

$$\mathrm{L}'\mathrm{evenement}\:\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{a}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{probabilite} \\ $$$${p}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \right)\:=\:\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{8}} \mathrm{car}\:\mathrm{le}\:\mathrm{tiroir}\:{t}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{vide} \\ $$$$\mathrm{revient}\:\mathrm{a}\:\mathrm{distribuer}\:\mathrm{les}\:\mathrm{8}\:\mathrm{boules}\:\mathrm{dans} \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{5}\:\mathrm{autres}\:\mathrm{tiroirs}\:\mathrm{que}\:{t}_{\mathrm{1}} . \\ $$$$\mathrm{Idem}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{A}_{\mathrm{2}} .\:{p}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{8}} . \\ $$$$\mathrm{L}'\mathrm{evenement}\:\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \cap\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{realise}\:\mathrm{quand} \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{2}\:\mathrm{tiroirs}\:{t}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{et}\:{t}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{sont}\:\mathrm{vides}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{probabilite}\:{p}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \cap\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{Or}\:{p}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \cap\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \right)\:\neq\:{p}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \right){p}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \right). \\ $$$$\left(\mathrm{5},\mathrm{41\%}\:\neq\:\mathrm{3},\mathrm{90\%}\right).\:\mathrm{Les}\:\mathrm{evenements}\:\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{sont}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{dependants}. \\ $$

Commented by ArielVyny last updated on 05/Aug/21

merci Mr

$${merci}\:{Mr} \\ $$

Commented by LESSENGUI last updated on 06/Aug/21

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