Question Number 117087 by mnjuly1970 last updated on 09/Oct/20 | ||
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:...\:\:{nice}\:\:{calculus}... \\ $$$$\:{please}\:\:{evaluate}\::: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\Omega=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}{dx}\:=??? \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{m}.{n}.\mathrm{1970} \\ $$ | ||
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 09/Oct/20 | ||
$$\int\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{dx} \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx}−\int\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }{\left({x}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}{dx}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int\frac{{d}\left({x}^{\mathrm{3}} \right)}{\left({x}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{{d}\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int\frac{{d}\left({x}^{\mathrm{3}} \right)}{\left({x}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$${tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}^{\mathrm{3}} \right)+{C} \\ $$$${now}\:{put}\:{limit} \\ $$$$\mid{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}^{\mathrm{3}} \right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$${tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}\right)−{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}−\infty\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}×\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{3}}+\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$ | ||
Commented by mnjuly1970 last updated on 09/Oct/20 | ||
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}\:\:{master}... \\ $$ | ||
Commented by TANMAY PANACEA last updated on 09/Oct/20 | ||
$${most}\:{welcome}\:{sir} \\ $$ | ||
Answered by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20 | ||
$$\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{cx}^{\mathrm{3}} +\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ex}+\mathrm{f}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\equiv\left(\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{5}} +\left(\mathrm{b}+\mathrm{d}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}+\mathrm{e}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$+\left(\mathrm{f}−\mathrm{b}+\mathrm{d}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{e}\right)\mathrm{x}+\mathrm{b}+\mathrm{f} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{c}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{b}+\mathrm{d}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{b}+\mathrm{f}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{c}−\mathrm{a}+\mathrm{e}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{f}−\mathrm{b}+\mathrm{d}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{e}=\mathrm{0}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{d}=\mathrm{f}=\mathrm{1}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{b}=\mathrm{2}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{a}=\mathrm{c}=\mathrm{e}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Similarly},\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}=\mathrm{c}=\mathrm{0},\mathrm{b}=\mathrm{d}=\mathrm{1}/\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\Omega=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}{\left(\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}{\left(\mathrm{x}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\right) \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right. \\ $$$$\left.+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}×\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{12}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\pi}{\mathrm{12}}=\frac{\pi}{\mathrm{6}}+\frac{\pi}{\mathrm{6}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Thus}},\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{obtain}}\:\Omega=\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$ | ||
Commented by mnjuly1970 last updated on 09/Oct/20 | ||
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much} \\ $$$${your}\:{work}\:{is}\:{really} \\ $$$${admirable}. \\ $$ | ||
Commented by 1549442205PVT last updated on 10/Oct/20 | ||
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sir}.\mathrm{You}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}. \\ $$ | ||