Question Number 128023 by mnjuly1970 last updated on 04/Jan/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:....{nice}\:\:{calculus}...= \\ $$$$\:\:{Titu}'{s}\:{lemma}:: \\ $$$$\:{for}\:{any}\:{positive}\:{numbers}\:: \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} ,{a}_{\mathrm{2}} ,...,{a}_{{n}} \:,\:{b}_{\mathrm{1}} ,{b}_{\mathrm{2}} ,...,{b}_{{n}} \\ $$$$\:{we}\:{have}: \\ $$$$\:\frac{\left({a}_{\mathrm{1}} +...+{a}_{{n}} \right)^{\mathrm{2}} }{{b}_{\mathrm{1}} +...+{b}_{{n}} }\leqslant\frac{{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }{{b}_{\mathrm{1}} }\:+...+\frac{{a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} }{{b}_{{n}} }\: \\ $$$${proof}\:: \\ $$$${put}\::\:{x}=\left({x}_{\mathrm{1}} ,...,{x}_{{n}} \right)\in\mathbb{R}^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\::{y}=\left({y}_{\mathrm{1}} ,...,{y}_{{n}} \right)\in\mathbb{R}^{{n}} \\ $$$$\left({x}.{y}\right)^{\mathrm{2}} \leqslant\mid{x}\mid^{\mathrm{2}} \mid{y}\mid^{\mathrm{2}} \left({cauchy}−{schwarz}\:\:{inequality}\right) \\ $$$$\left({x}_{\mathrm{1}} {y}_{\mathrm{1}} +...+{x}_{{n}} {y}_{{n}} \right)^{\mathrm{2}} \leqslant\left({x}_{\mathrm{1}\:\:\:} ^{\mathrm{2}} +...+{x}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \right)\left({y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +...+{y}_{{n}\:} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:{by}\:{applying}\:{subsitution}\:: \\ $$$$\:{x}_{{i}} =\frac{{a}_{{i}} }{\:\sqrt{{b}_{{i}} }}\:\:\:,\:\:{y}_{{i}} =\sqrt{{b}_{{i}} }\:\left({i}=\mathrm{1},\mathrm{2}\:,...,{n}\right) \\ $$$$\:\frac{{a}_{\mathrm{1}\:} ^{\mathrm{2}} +...+{a}_{{n}\:} ^{\mathrm{2}} }{{b}_{\mathrm{2}} +...+{b}_{{n}} }\leqslant\frac{{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }{{b}_{\mathrm{1}} }+...+\frac{{a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} }{{b}_{{n}} }\:\:\:\checkmark\checkmark \\ $$$$ \\ $$