Question Number 184768 by SANOGO last updated on 11/Jan/23 | ||
$$\underset{{n}={o}} {\overset{+{oo}} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$ | ||
Commented by SANOGO last updated on 11/Jan/23 | ||
$${merci} \\ $$ | ||
Answered by mr W last updated on 11/Jan/23 | ||
$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{\mathrm{2}{n}} =\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{4}} +...=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {x}^{\mathrm{2}{n}} {dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \frac{{dx}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$${replace}\:{x}\:{with}\:\sqrt{{x}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}=\frac{{x}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}+\mathrm{1}=\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}=\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}−\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)=\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}\right)\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}−\sqrt{{x}}\right)\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||