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Question Number 147572 by liberty last updated on 22/Jul/21

Σ_(n≥1) ((4n−3)/((n^2 +2n)(n+3))) =?

$$\:\:\:\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\:\frac{\mathrm{4}{n}−\mathrm{3}}{\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)}\:=? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Jul/21

let S=Σ_(n=1) ^∞ ((4n−3)/(n(n+2)(n+3))) let decompose F(x)=((4x−3)/(x(x+2)(x+3))) F(x)=(a/x)+(b/(x+2))+(c/(x+3)) a=((−3)/6)=−(1/2) , b=((−11)/((−2)(1)))=((11)/2) , c=((−15)/((−3)(−1)))=−5 ⇒ F(x)=−(1/(2x)) +((11)/(2(x+2))) −(5/(x+3)) ⇒ Σ_(k=1) ^(n ) F(k) =−(1/2)Σ_(k=1) ^(n ) (1/k) +((11)/2)Σ_(k=1) ^n (1/(k+2)) −5Σ_(k=1) ^n (1/(k+3))=S_n Σ_(k=1) ^n (1/k)=H_n ,Σ_(k=1) ^n (1/(k+2))=Σ_(k=3) ^(n+2) (1/k)=H_(n+2) −(3/2) Σ_(k=1) ^n (1/(k+3))=Σ_(k=1) ^(n+4) (1/k)=H_(n+4) −(3/2)−(1/3)=H_(n+4) −((11)/6) ⇒ S_n =−(1/2)H_n +((11)/2)(H_(n+2) −(3/2))−5(H_(n+4) −((11)/6)) =−(1/2)H_n +((11)/2)H_(n+2) −((33)/4) +5H_(n+4) −((55)/6) S_n =−(1/2)(logn +γ +o((1/n))+((11)/2)(log(n+2)+γ +o((1/(n+2)))) −5(log(n+4)+γ +o((1/(n+4))))−((33)/4)+((55)/6) ⇒ S_n ∼−(1/2)logn−(γ/2) +((11)/2)logn+((11)/2)log(1+(2/n))+((11γ)/2) −5log(n)−5log(1+(4/n)) −5γ−((33)/4)+((55)/6) ⇒S_n ∼((11)/2)log(1+(2/n))−5log(1+(4/n))−((33)/4)+((55)/6) ⇒ lim_(n→∞) S_n =((55)/6)−((33)/4)

$$\mathrm{let}\:\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{4n}−\mathrm{3}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{4x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{6}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:,\:\mathrm{b}=\frac{−\mathrm{11}}{\left(−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\:\:,\:\mathrm{c}=\frac{−\mathrm{15}}{\left(−\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)}=−\mathrm{5}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}\:+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\:−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}\:} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{k}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}\:} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\:+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\:−\mathrm{5}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{3}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}} ,\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{2}}=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{3}}=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \:+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{5}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} +\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{4}}\:+\mathrm{5H}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{55}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{logn}\:+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{log}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)\right)\right. \\ $$$$−\mathrm{5}\left(\mathrm{log}\left(\mathrm{n}+\mathrm{4}\right)+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}}\right)\right)−\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{55}}{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \sim−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{logn}−\frac{\gamma}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\mathrm{logn}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\right)+\frac{\mathrm{11}\gamma}{\mathrm{2}}\:−\mathrm{5log}\left(\mathrm{n}\right)−\mathrm{5log}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{n}}\right) \\ $$$$−\mathrm{5}\gamma−\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{55}}{\mathrm{6}}\:\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\right)−\mathrm{5log}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{n}}\right)−\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{55}}{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{55}}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{4}} \\ $$

Answered by qaz last updated on 22/Jul/21

Σ_(n=1) ^∞ ((4n−3)/(n(n+2)(n+3))) =Σ_(n=1) ^∞ (−(1/(2n))+((11)/2)∙(1/(n+2))−5∙(1/(n+3))) =Σ_(n=0) ^∞ (−(1/2)∙(1/(n+1))+((11)/2)∙(1/(n+3))−5∙(1/(n+4))) =Σ_(n=0) ^∞ (−(1/2)∫_0 ^1 x^n dx+((11)/2)∫_0 ^1 x^(n+2) dx−5∫_0 ^1 x^(n+3) dx) =−(1/2)∫_0 ^1 (dx/(1−x))dx+((11)/2)∫_0 ^1 (x^2 /(1−x))dx−5∫_0 ^1 (x^3 /(1−x))dx =(1/2)∫_0 ^1 ((−1+11x^2 −10x^3 )/(1−x))dx =−(1/2)∫_0 ^1 (1+x−10x^2 )dx =((11)/(12))

$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{4n}−\mathrm{3}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}−\mathrm{5}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{3}}−\mathrm{5}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \mathrm{dx}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{dx}−\mathrm{5}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} \mathrm{dx}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx}−\mathrm{5}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{−\mathrm{1}+\mathrm{11x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}−\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{12}} \\ $$

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