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Question Number 199908 by cortano12 last updated on 11/Nov/23

lim_(x→0) (((2^x +3^x +5^x )/3))^(3/x) =?

$$\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{3}^{\mathrm{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{3}}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}} =?\: \\ $$

Answered by cortano12 last updated on 11/Nov/23

L = lim_(x→0) (((2^x +3^x +5^x )/3))^(3/x) ln L= lim_(x→0) (3/x) (ln (2^x +3^x +5^x )−ln 3) ln L = 3.lim_(x→0) ((ln (2^x +3^x +5^x )−ln 3)/x) ln L = 3. (d/dx) ln (2^x +3^x +5^x )∣_(x=0) ln L = 3. ∣((2^x ln 2 +3^x ln 3 + 5^x ln 5)/(2^x +3^x +5^x )) ∣_(x=0) ln L= ln 2+ln 3+ln 5 ⇒ L = 30

$$\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{3}^{\mathrm{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{3}}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}} \\ $$$$\:\:\mathrm{ln}\:\mathrm{L}=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\:\left(\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{3}^{\mathrm{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{x}} \right)−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:\mathrm{3}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{3}^{\mathrm{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{x}} \right)−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:\mathrm{3}.\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{3}^{\mathrm{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{x}} \right)\mid_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:\mathrm{L}\:=\:\mathrm{3}.\:\mid\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:+\mathrm{3}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\:+\:\mathrm{5}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{3}^{\mathrm{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{x}} }\:\mid_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:\mathrm{L}=\:\mathrm{ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{ln}\:\mathrm{3}+\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\:\Rightarrow\:\mathrm{L}\:=\:\mathrm{30}\: \\ $$

Answered by MM42 last updated on 11/Nov/23

=e^(lim_(x→0) (((2^x +3^x +5^x )/3)−1)×(3/x)) =e^(→^(hop) lim_(x→0) (((2^x ln2+3^x ln3+5^x ln5)/1))) =e^(ln30) =30 ✓

$$={e}^{{lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\left(\frac{\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{3}^{{x}} +\mathrm{5}^{{x}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{3}}{{x}}} \\ $$$$={e}^{\overset{{hop}} {\rightarrow}{lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\left(\frac{\mathrm{2}^{{x}} {ln}\mathrm{2}+\mathrm{3}^{{x}} {ln}\mathrm{3}+\mathrm{5}^{{x}} {ln}\mathrm{5}}{\mathrm{1}}\right)} \\ $$$$={e}^{{ln}\mathrm{30}} =\mathrm{30}\:\checkmark \\ $$

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