Question Number 215748 by MrGaster last updated on 17/Jan/25
![lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) −[Π_(k=1) ^n Γ((1/k))]^(1/n)](Q215748.png)
$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} −\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 02/Feb/25
![=lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [1−(((Π_(k=1) ^n Γ((1/k)))/(Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k)))))^(1/n) ] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [1−(((Γ((1/(n+1))))/(Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k)))))^(1/n) ] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [1−(((Γ((1/(n+1))))/(Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k)))))^(1/n) ] [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [1−(((Γ((1/(n+1))))/(Γ(1+(1/(n+1))))))^(1/n) ] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [1−((1/(1/(n+1))))^(1/n) ] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [1−(n+1)^(1/n) ] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [1−e^((ln(n+1))/n) ] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [1−(1+((ln(n+1))/n)+O(((ln^2 (n+1))/n)))] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [−((ln(n+1))/n)+O(((ln^2 (n+1))/n^2 ))] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [−((ln(n−1))/n)] =lim_(n→∞) [Π_(k=1) ^(n+1) Γ((1/k))]^(1/(n+1)) [−(1/n)ln(n+1)] =0](Q216272.png)
$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[\mathrm{1}−\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[\mathrm{1}−\left(\frac{\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[\mathrm{1}−\left(\frac{\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \right] \\ $$$$\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[\mathrm{1}−\left(\frac{\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[\mathrm{1}−\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[\mathrm{1}−{e}^{\frac{\mathrm{ln}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{{n}}} \right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{{n}}+{O}\left(\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)}{{n}}\right)\right)\right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[−\frac{\mathrm{ln}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{{n}}+{O}\left(\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)\right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[−\frac{\mathrm{ln}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{{n}}\right] \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\prod}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \left[−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\mathrm{ln}\left({n}+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$