Question Number 135495 by greg_ed last updated on 13/Mar/21
$$\boldsymbol{\mathrm{hi}},\:\boldsymbol{\mathrm{guyz}}\:! \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{let}}'\boldsymbol{\mathrm{s}}\:\boldsymbol{\mathrm{try}}\:\boldsymbol{\mathrm{this}}\::\:\boldsymbol{\mathrm{I}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\boldsymbol{{sin}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{x}}}{\boldsymbol{{cos}}^{\mathrm{3}} \boldsymbol{{x}}}\boldsymbol{{dx}}. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Mar/21
![Φ=∫_0 ^1 ((sin^2 x)/(cos^3 x))dx ⇒Φ =∫_0 ^1 ((sin^2 x)/(cos^4 x))cosx dx =_(t=sinx) ∫_0 ^(sin1) ((t^2 dt)/((1−t^2 )^2 )) =∫_0 ^(sin1) ((t^2 −1+1)/((t^2 −1)^2 ))dt =∫_0 ^(sin1) (dt/(t^2 −1))+∫_0 ^1 (dt/((t^2 −1)^2 )) we have ∫_0 ^(sin1) (dt/(t^2 −1))=(1/2)∫_0 ^(sin1) ((1/(t−1))−(1/(t+1)))dt =(1/2)[ln∣((t−1)/(t+1))∣]_0 ^(sin1) =(1/2)ln∣((sin1−1)/(sin1 +1))∣ J=∫_0 ^(sin1) (dt/((t^2 −1)^2 )) =∫_0 ^(sin1) (dt/((t−1)^2 (t+1)^2 ))=∫_0 ^(sin1) (dt/((((t−1)/(t+1)))^2 (t+1)^4 )) changement ((t−1)/(t+1))=y give t−1=yt+y ⇒(1−y)t=1+y ⇒t=((1+y)/(1−y)) ⇒(dt/dy)=((1−y+(1+y))/((1−y)^2 ))=(2/((1−y)^2 )) t+1 =((1+y)/(1−y))+1 =((1+y+1−y)/(1−y))=(2/(1−y)) ⇒ J=∫_(−1) ^((sin1−1)/(sin1+1)) (1/(y^2 ((2/(1−y)))^4 ))((2dy)/((1−y)^2 )) =(1/8)∫_(−1) ^((sin1−1)/(sin1+1)) (((y−1)^2 )/y^2 )dy =(1/8)∫_(−1) ^((sin1−1)/(sin1+1)) ((y^2 −2y+1)/y)dy =(1/8)∫_(−1) ^((sin1−1)/(sin1+1)) (y−2+(1/y))dy =(1/8)[(y^2 /2)]_(−1) ^((sin1−1)/(sin1 +1)) −(1/4)[y]_(−1) ^((sin1−1)/(sin1+1)) +(1/8)[log∣y∣]_(−1) ^((sin1−1)/(sin1+1)) =(1/(16)){(((sin1−1)/(sin1 +1)))^2 −(1/2))}−(1/4){((sin1−1)/(sin1+1))+1}+(1/8)log∣((sin1−1)/(sin1+1))∣](Q135521.png)
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Phi\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}}\mathrm{cosx}\:\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{t}=\mathrm{sinx}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}\:+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$\mathrm{J}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{sin1}} \frac{\mathrm{dt}}{\left(\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}=\mathrm{y}\:\mathrm{give}\:\mathrm{t}−\mathrm{1}=\mathrm{yt}+\mathrm{y}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{y}\right)\mathrm{t}=\mathrm{1}+\mathrm{y} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{y}}{\mathrm{1}−\mathrm{y}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dy}}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{t}+\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{y}}{\mathrm{1}−\mathrm{y}}+\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{y}+\mathrm{1}−\mathrm{y}}{\mathrm{1}−\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{y}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{J}=\int_{−\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}+\mathrm{1}}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{y}}\right)^{\mathrm{4}} }\frac{\mathrm{2dy}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{−\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}+\mathrm{1}}} \:\frac{\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{−\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}+\mathrm{1}}} \:\:\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2y}+\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\mathrm{dy}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{−\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}+\mathrm{1}}} \left(\mathrm{y}−\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right]_{−\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}\:+\mathrm{1}}} \:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\mathrm{y}\right]_{−\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}+\mathrm{1}}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{log}\mid\mathrm{y}\mid\right]_{−\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\left.=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left\{\left(\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}\:+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right\}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right\}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{sin1}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin1}+\mathrm{1}}\mid \\ $$