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Question Number 138295 by greg_ed last updated on 12/Apr/21

hi ! Simplify : for n ∈ N^∗ , S_n = Σ_(k=1) ^n ((3k+8)/(k(k+2)2^k )) .

$$\boldsymbol{\mathrm{hi}}\:! \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Simplify}}\::\:{for}\:{n}\:\in\:\mathbb{N}^{\ast} ,\:\:{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{3}{k}+\mathrm{8}}{{k}\left({k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{k}} }\:. \\ $$

Answered by mr W last updated on 12/Apr/21

((3k+8)/(k(k+2)))=(A/k)+(B/(k+2))=(((A+B)k+2A)/(k(k+2))) ⇒2A=8⇒A=4 ⇒A+B=3 ⇒B=−1 S_n = Σ_(k=1) ^n ((3k+8)/(k(k+2)2^k )) = Σ_(k=1) ^n ((4/k)−(1/(k+2)))(1/2^k ) = 4Σ_(k=1) ^n (1/(k2^k ))−Σ_(k=1) ^n (1/((k+2)2^k )) = 4Σ_(k=1) ^n (1/(k2^k ))−4Σ_(k=1) ^n (1/((k+2)2^(k+2) )) = 4Σ_(k=1) ^n (1/(k2^k ))−4Σ_(k=3) ^(n+2) (1/(k2^k )) = 4Σ_(k=1) ^n (1/(k2^k ))−4Σ_(k=1) ^n (1/(k2^k ))+4((1/(1×2^1 ))+(1/(2×2^2 ))−(1/((n+1)2^(n+1) ))−(1/((n+2)2^(n+2) ))) = (5/2)−((3n+5)/((n+1)(n+2)2^n ))

$$\frac{\mathrm{3}{k}+\mathrm{8}}{{k}\left({k}+\mathrm{2}\right)}=\frac{{A}}{{k}}+\frac{{B}}{{k}+\mathrm{2}}=\frac{\left({A}+{B}\right){k}+\mathrm{2}{A}}{{k}\left({k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{A}=\mathrm{8}\Rightarrow{A}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow{A}+{B}=\mathrm{3}\:\Rightarrow{B}=−\mathrm{1} \\ $$$${S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{3}{k}+\mathrm{8}}{{k}\left({k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{4}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{2}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}} }\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }−\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }−\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}+\mathrm{2}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\cancel{\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }}−\cancel{\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }}+\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}{n}+\mathrm{5}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$

Commented by henderson last updated on 12/Apr/21

thank u, sir mr W !

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{u},\:\mathrm{sir}\:\mathrm{mr}\:\mathrm{W}\:! \\ $$

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