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Question Number 123304 by mordo last updated on 24/Nov/20

gcd(a;b)+lcm(a;b)=111 find a and b

$${gcd}\left({a};{b}\right)+{lcm}\left({a};{b}\right)=\mathrm{111} \\ $$$${find}\:{a}\:{and}\:{b} \\ $$

Commented by mr W last updated on 24/Nov/20

a=1 b=110

$${a}=\mathrm{1} \\ $$$${b}=\mathrm{110} \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 24/Nov/20

(1) gcd (a, b) =1 ⇒ lcm (a, b) =ab=110 (2) gcd (a, b) =k≠1 ⇒ a=kx∧b=ky ⇒ ⇒ lcm (a, b) =kxy ⇒ k+kxy=111 ⇔ ⇔ k=((111)/(xy+1)) with gcd (x, y) =1 in both cases we can try to find solutions for a<b I get these pairs: a b 1 110 2 55 3 108 5 22 10 11 12 27 37 74

$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{gcd}\:\left({a},\:{b}\right)\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{lcm}\:\left({a},\:{b}\right)\:={ab}=\mathrm{110} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{gcd}\:\left({a},\:{b}\right)\:={k}\neq\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{a}={kx}\wedge{b}={ky}\:\Rightarrow \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{lcm}\:\left({a},\:{b}\right)\:={kxy}\:\Rightarrow\:{k}+{kxy}=\mathrm{111}\:\Leftrightarrow \\ $$$$\:\:\:\:\:\Leftrightarrow\:{k}=\frac{\mathrm{111}}{{xy}+\mathrm{1}}\:\mathrm{with}\:\mathrm{gcd}\:\left({x},\:{y}\right)\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{both}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{try}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{solutions} \\ $$$$\mathrm{for}\:{a}<{b}\:\mathrm{I}\:\mathrm{get}\:\mathrm{these}\:\mathrm{pairs}: \\ $$$${a}\:\:\:\:\:{b} \\ $$$$\mathrm{1}\:\:\:\:\:\mathrm{110} \\ $$$$\mathrm{2}\:\:\:\:\:\mathrm{55} \\ $$$$\mathrm{3}\:\:\:\:\:\mathrm{108} \\ $$$$\mathrm{5}\:\:\:\:\:\mathrm{22} \\ $$$$\mathrm{10}\:\:\:\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{12}\:\:\:\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{37}\:\:\:\mathrm{74} \\ $$

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 24/Nov/20

let d=gcd(a, b)⇒a=dx, b=dy where gcd(x, y)=1 d+dxy=111∴d(1+xy)=111 d∣111⇒d=1, 3, 37, 111 Case 1: d=1⇒xy=ab=110=11.5.2 a=11.5.2, b=1 a=11.5, b=2 a=11.2, b=5 a=11, b=2.5 Case 2: d=3⇒xy=36=2^2 .3^2 x=2^2 .3^2 , y=1⇒a=2^2 .3^3 , b=3 x=3^2 , y=2^2 ⇒a=3^3 , b=2^2 .3 Case 3: d=37⇒xy=2 x=2, y=1⇒a=37.2, b=37 Case 4: d=111 (no sol.) (a, b)={(110, 1), (55, 2), (22, 5), (11, 10) (108, 3), (27,12), (74, 37)} and the (b, a) pairs

$$\mathrm{let}\:\mathrm{d}=\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\:\mathrm{b}\right)\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{dx},\:\mathrm{b}=\mathrm{dy} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{gcd}\left(\mathrm{x},\:\mathrm{y}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{d}+\mathrm{dxy}=\mathrm{111}\therefore\mathrm{d}\left(\mathrm{1}+\mathrm{xy}\right)=\mathrm{111} \\ $$$$\mathrm{d}\mid\mathrm{111}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{1},\:\mathrm{3},\:\mathrm{37},\:\mathrm{111} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{1}:\:\mathrm{d}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{xy}=\mathrm{ab}=\mathrm{110}=\mathrm{11}.\mathrm{5}.\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{11}.\mathrm{5}.\mathrm{2},\:\mathrm{b}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{11}.\mathrm{5},\:\mathrm{b}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{11}.\mathrm{2},\:\mathrm{b}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{11},\:\mathrm{b}=\mathrm{2}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{2}:\:\mathrm{d}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{xy}=\mathrm{36}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{y}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{3}} ,\:\mathrm{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{3}^{\mathrm{3}} ,\:\mathrm{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{3}:\:\mathrm{d}=\mathrm{37}\Rightarrow\mathrm{xy}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2},\:\mathrm{y}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{37}.\mathrm{2},\:\mathrm{b}=\mathrm{37} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{4}:\:\mathrm{d}=\mathrm{111}\:\left(\mathrm{no}\:\mathrm{sol}.\right) \\ $$$$\left(\mathrm{a},\:\mathrm{b}\right)=\left\{\left(\mathrm{110},\:\mathrm{1}\right),\:\left(\mathrm{55},\:\mathrm{2}\right),\:\left(\mathrm{22},\:\mathrm{5}\right),\:\left(\mathrm{11},\:\mathrm{10}\right)\right. \\ $$$$\left.\left(\mathrm{108},\:\mathrm{3}\right),\:\left(\mathrm{27},\mathrm{12}\right),\:\left(\mathrm{74},\:\mathrm{37}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\left(\mathrm{b},\:\mathrm{a}\right)\:\mathrm{pairs} \\ $$

Commented by mordo last updated on 25/Nov/20

thanks

$${thanks} \\ $$

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