Question Number 130455 by ayoubbacmath0 last updated on 25/Jan/21
![f(x)=x+ln∣e^x −2∣ { ((f(x)=x+ln(e^x −2) x∈]ln2;+∞[)),((f(x)=x+ln(−e^x +2) x∈]−∞;ln2[)) :} lim_(x→+∞) f(x)=lim_(x→+∞) (x+ln(e^x −2))=+∞ lim_(x→−∞) f(x)=lim_(x→−∞) (x+ln(−e^x +2))=−∞ lim_(x→−∞) e^x =0 lim_(x→−∞) ln(−e^x +2)=ln2 lim_(x→−∞) (x+ln(−e^x +2)=−∞ lim_(x→^> ln2) f(x)=lim_(x→^> ln2) (x+ln(e^x −2))=−∞ lim_(x→^< ln2) f(x)=lim_(x→^< ln2) (x+ln(−e^x +2))=−∞](Q130455.png)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\mathrm{ln}\mid\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2}\mid \\ $$$$\begin{cases}{\left.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}\in\right]\mathrm{ln2};+\infty\left[\right.}\\{\left.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\mathrm{ln}\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}\right)\:\:\:\mathrm{x}\in\right]−\infty;\mathrm{ln2}\left[\right.}\end{cases} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2}\right)\right)=+\infty \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{ln}\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}\right)\right)=−\infty \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}e}^{\mathrm{x}} =\mathrm{0} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}ln}\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}\right)=\mathrm{ln2} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{ln}\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}\right)=−\infty\right. \\ $$$$\underset{{x}\overset{>} {\rightarrow}\mathrm{ln2}} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{{x}\overset{>} {\rightarrow}\mathrm{ln2}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2}\right)\right)=−\infty \\ $$$$\underset{{x}\overset{<} {\rightarrow}\mathrm{ln2}} {\mathrm{lim}f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{{x}\overset{<} {\rightarrow}\mathrm{ln2}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{ln}\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}\right)\right)=−\infty \\ $$