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Question Number 145064 by akolade last updated on 02/Jul/21

∫cos 2xln (1+tan x)dx

$$\:\:\:\:\:\:\int\mathrm{cos}\:\mathrm{2xln}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Jul/21

Ψ=∫ cos(2x)log(1+tanx)dx by parts Ψ=((sin(2x))/2)log(1+tanx)−∫((sin(2x))/2)×(((1+tan^2 x))/(1+tanx))dx ∫ sin(2x).((1+tan^2 x)/(1+tanx))dx =_(tanx=t) ∫((2t)/(1+t^2 ))×((1+t^2 )/(1+t))(dt/(1+t^2 )) =2∫ (t/((t+1)(t^2 +1)))dt let decompose F(t)=(t/((t+1)(t^2 +1))) F(t)=(a/(t+1))+((bt+c)/(t^2 +1)) ⇒a=−(1/2) lim_(t→+∞) tF(t)=0=a+b ⇒b=(1/2) F(0)=0=a+c ⇒c=(1/2) ⇒F(t)=((−1)/(2(t+1)))+(1/2)×((t+1)/(t^2 +1))⇒ ∫ F(t)dt=−(1/2)log∣t+1∣+(1/4)log(t^2 +1)+(1/2)arctant +K ⇒ Ψ=(1/2)sin(2x)log(1+tanx)+(1/2)log∣tanx+1∣−(1/4)log(1+tan^2 x)+(x/2)+K

$$\Psi=\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tanx}\right)\mathrm{dx}\:\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\Psi=\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tanx}\right)−\int\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}×\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{tanx}}\mathrm{dx} \\ $$$$\int\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right).\frac{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tanx}}\mathrm{dx}\:\:=_{\mathrm{tanx}=\mathrm{t}} \:\:\:\int\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\int\:\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bt}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{tF}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}=\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\Rightarrow \\ $$$$\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\mathrm{t}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{log}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctant}\:+\mathrm{K}\:\Rightarrow \\ $$$$\Psi=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tanx}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\mathrm{tanx}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{K} \\ $$

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