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Question Number 64819 by mathmax by abdo last updated on 22/Jul/19

calculate Σ_(n=1) ^∞ (((2n+1)(−1)^n )/(n^3 (n+1)^2 ))

$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 24/Jul/19

let S =Σ_(n=1) ^∞ (−1)^n ((2n+1)/(n^3 (n+1)^2 )) letdecompose F(x) =((2x+1)/(x^3 (x+1)^2 )) F(x) =(a/x) +(b/x^2 ) +(c/x^3 ) +(d/(x+1)) +(e/((x+1)^2 )) c =lim_(x→0) x^3 F(x) =1 e =lim_(x→−1) (x+1)^2 F(x) =((−1)/(−1)) =1 ⇒ F(x) =(a/x) +(b/x^2 ) +(1/x^3 ) +(d/(x+1)) +(1/((x+1)^2 )) lim_(x→+∞) xF(x) =0 =a+d ⇒d =−a ⇒ F(x) =(a/x) +(b/x^2 ) +(1/x^3 ) −(a/(x+1)) +(1/((x+1)^2 )) F(1) =(3/4) =a+b +1−(a/2) +(1/4) ⇒3 =4a+4b+4−2a +1 ⇒ 3=2a +4b+5 ⇒2a+4b =−2 ⇒a+2b =−1 F(−2) =((−3)/(−8)) =(3/8) =−(a/2) +(b/4) −(1/8) +a+1 ⇒ 3 =−4a +2b−1 +8a+8 ⇒3 =4a +2b+7 ⇒4a+2b =−4 ⇒ 2a+b =−2 ⇒b =−2−2a ⇒a +2(−2−2a) =−1 ⇒ a−4−4a =−1 ⇒−3a =3 ⇒a =−1 ⇒b =−2−2(−1) =0 ⇒ F(x) =−(1/x) +(1/x^3 ) +(1/(x+1)) +(1/((x+1)^2 )) ⇒ S =−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^3 ) +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^2 )) we know Σ_(n=0) ^∞ (x^n /n) =−ln(1−x) if ∣x∣<1 ⇒Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) =−ln(2) also δ(x) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^x ) =(2^(1−x) −1)ξ(x) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^3 ) =(2^(1−3) −1)ξ(3) =((1/4)−1)ξ(3) =−(3/4)ξ(3) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) −1 =ln(2)−1 Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^2 )) =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^2 ) =−Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) =−(Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) +1) =−(2^(1−2) −1)ξ(2)−1 =(1/2)ξ(2)−1 =(1/2)(π^2 /6) −1 =(π^2 /(12)) −1⇒ S =ln(2)−(3/4)ξ(3) +ln(2)−1+(π^2 /(12)) −1 S=2ln(2)−(3/4)ξ(3)+(π^2 /2) −2 .

$${let}\:{S}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:\:\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{letdecompose}\:{F}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{e}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${c}\:={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:{x}^{\mathrm{3}} \:{F}\left({x}\right)\:=\mathrm{1} \\ $$$${e}\:={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:{F}\left({x}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{−\mathrm{1}}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} \:{xF}\left({x}\right)\:=\mathrm{0}\:={a}+{d}\:\Rightarrow{d}\:=−{a}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:−\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:={a}+{b}\:+\mathrm{1}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{3}\:=\mathrm{4}{a}+\mathrm{4}{b}+\mathrm{4}−\mathrm{2}{a}\:+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3}=\mathrm{2}{a}\:+\mathrm{4}{b}+\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{b}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow{a}+\mathrm{2}{b}\:=−\mathrm{1} \\ $$$${F}\left(−\mathrm{2}\right)\:=\frac{−\mathrm{3}}{−\mathrm{8}}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\:=−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{b}}{\mathrm{4}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:+{a}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3}\:=−\mathrm{4}{a}\:+\mathrm{2}{b}−\mathrm{1}\:+\mathrm{8}{a}+\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{3}\:=\mathrm{4}{a}\:+\mathrm{2}{b}+\mathrm{7}\:\Rightarrow\mathrm{4}{a}+\mathrm{2}{b}\:=−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}{a}+{b}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow{b}\:=−\mathrm{2}−\mathrm{2}{a}\:\Rightarrow{a}\:+\mathrm{2}\left(−\mathrm{2}−\mathrm{2}{a}\right)\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${a}−\mathrm{4}−\mathrm{4}{a}\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow−\mathrm{3}{a}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow{a}\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow{b}\:=−\mathrm{2}−\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${we}\:{know}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:{if}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${also}\:\delta\left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{{x}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−{x}} −\mathrm{1}\right)\xi\left({x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:−\mathrm{1}\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{1}\right)\:=−\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\xi\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:−\mathrm{1}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$${S}\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)\:+{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\mathrm{1} \\ $$$${S}=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:−\mathrm{2}\:. \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 24/Jul/19

S =2ln(2)−(3/4)ξ(3)+(π^2 /(12)) −2 .

$${S}\:=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\mathrm{2}\:. \\ $$

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