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Question Number 139402 by mathmax by abdo last updated on 26/Apr/21

calculate ∫_0 ^∞ ((log^2 x)/(x^2 +x+1))dx

$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Apr/21

let f(a)=∫_0 ^∞ ((x^a logx)/(x^2 +x+1))dx ⇒f(a)=∫_0 ^∞ ((e^(alogx) logx)/(x^2 +x+1))dx ⇒f^′ (a)=∫_0 ^∞ ((x^a log^2 x)/(x^2 +x+1))dx ⇒f^′ (o)=∫_0 ^∞ ((log^2 x)/(x^2 +x+1))dx f(a)=−(1/2)Re(Σ Res(ϕ a_i ) )withϕ(z)=(z^a /(z^2 +z+1))log^2 z we have ϕ(z)=((z^a log^2 z)/((z−e^((2iπ)/3) )(z−e^(−((2iπ)/3)) ))) Res(ϕ,e^((2iπ)/3) ) =((e^((2iπa)/3) (((2iπ)/3))^2 )/(2isin(((2π)/3)))) =−((4π^2 )/(9(i(√3))))e^((2iπa)/3) =−((4π^2 )/(9i(√3))) e^((2iπa)/3) Res(ϕ,e^(−((2iπ)/3)) ) =((e^(−((2iπa)/3)) (−((2iπ)/3))^2 )/((−2isin(((2π)/3)))))=−((4π^2 )/(9(−i(√3))))e^(−((2iπa)/3)) =((4π^2 )/(9i(√3)))e^(−((2iπa)/3)) ⇒Σ Res(ϕ z_i )=−((4π^2 )/(9i(√3))){ e^((2iπa)/3) −e^(−((2iπa)/3)) } =−((4π^2 )/(9i(√3)))(2i sin(((2πa)/3)) =−((8π^2 )/(9(√3)))sin(((2πa)/3)) ⇒ f(a) =((4π^2 )/(9(√3)))sin(((2πa)/3)) ⇒f^′ (a) =((4π^2 )/(9(√3)))×((2π)/3)cos(((2πa)/3)) =((8π^3 )/(27(√3))) cos(((2πa)/3)) ⇒f^′ (0)=((8π^3 )/(27(√3))) ⇒ ∫_0 ^∞ ((log^2 x)/(x^2 +x+1))dx =((8π^3 )/(27(√3)))

$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \mathrm{logx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{alogx}} \:\mathrm{logx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \:\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{o}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Re}\left(\Sigma\:\mathrm{Res}\left(\varphi\:\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \right)\:\right)\mathrm{with}\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{a}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{z}+\mathrm{1}}\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{z} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{a}} \mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}} \:\left(\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)}\:=−\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}\left(\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}} \:=−\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}} \left(−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(−\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}=−\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}\left(−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}} \:=\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9i}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\Sigma\:\mathrm{Res}\left(\varphi\:\:\mathrm{z}_{\mathrm{i}} \right)=−\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}} \right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{2i}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}\right)\:=−\frac{\mathrm{8}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}\right)\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}×\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{8}\pi^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{a}}{\mathrm{3}}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{8}\pi^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{8}\pi^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$

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