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Question Number 94310 by mathmax by abdo last updated on 18/May/20

calculate ∫_0 ^1 ((ln(1−x^2 ))/x^2 )dx

$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$ \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20

another way by parts u^′ =(1/x^2 ) and v =ln(1−x^2 ) ⇒ I =[(1−(1/x))ln(1−x^2 )]_0 ^1 −∫_0 ^1 (1−(1/x))×((−2x)/(1−x^2 ))dx =0 +2 ∫_0 ^1 ((x−1)/(1−x^2 ))dx =−2 ∫_0 ^1 ((1−x)/((1−x)(1+x)))dx =−2∫_0 ^1 (dx/(1+x)) =−2[ln∣1+x∣]_0 ^1 =−2ln(2) ⇒ ★ I =−2ln(2)★

$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{u}^{'} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{and}\:\mathrm{v}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\left[\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)×\frac{−\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{0}\:+\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=−\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}\:=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$=−\mathrm{2}\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}+\mathrm{x}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\:\bigstar\:\mathrm{I}\:=−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\bigstar \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20

we have ln^′ (1−u) =((−1)/(1−u)) =−Σ_(n=0) ^∞ u^n ⇒ln(1−u)=−Σ_(n=0) ^∞ (u^(n+1) /(n+1))+c (c=0) =−Σ_(n=1) ^∞ (u^n /n) ⇒ln(1−x^2 ) =−Σ_(n=1) ^∞ (x^(2n) /n) and ((ln(1−x^2 ))/x^2 ) =−Σ_(n=1) ^∞ (x^(2n−2) /n) ⇒∫_0 ^1 ((ln(1−x^2 ))/x^2 )dx =−Σ_(n=1) ^∞ (1/(n(2n−1))) let s_n =Σ_(k=1) ^n (1/(k(2k−1))) ⇒ (s_n /2) =Σ_(k=1) ^n (1/(2k(2k−1))) =Σ_(k=1) ^n ((1/(2k−1))−(1/(2k))) =Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1))−(1/2)Σ_(k=1) ^n (1/k) =H_(2n) −(1/2)H_n −(1/2)H_n =H_(2n) −H_n ∼ln(2n) +γ +o((1/(2n)))−ln(n)−γ −o^′ ((1/n)) →ln(2) ⇒ lim_(n→∞) s_n =2ln(2) ⇒∫_0 ^1 ((ln(1−x^2 ))/x^2 )dx =−2ln(2)

$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{c} \\ $$$$\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{n}}\:\mathrm{and} \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{s}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{s}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}}\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\:=\mathrm{H}_{\mathrm{2n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{H}_{\mathrm{2n}} −\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \sim\mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}\right)\:+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)−\gamma\:−\mathrm{o}^{'} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\:\rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow\infty} \:\mathrm{s}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$

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