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Question Number 199236 by SANOGO last updated on 30/Oct/23

calcul ∫_0 ^(+oo) (1/(x^α +x^β ))dx a>o

$${calcul}\: \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+{oo}} \frac{\mathrm{1}}{{x}^{\alpha} \:+{x}^{\beta} }{dx}\:\:\:{a}>{o} \\ $$

Answered by witcher3 last updated on 30/Oct/23

α≥β x^a +x^β =x^β (1+x^(a−𝛃) )∼x^β ,a−β≥0 integrable if β<1 x^a +x^β =x^a (1+x^(β−α) )∼x^a integrable if a>1,in ∞ f(a,b)=∫_0 ^∞ (dx/(x^a +x^b )), a>1>b ∫_0 ^∞ ((x^(−a) dx)/(1+x^(b−a) ))dx x^(b−a) =t⇒x=t^(1/(b−a)) =∫_∞ ^0 (t^(a/(a−b)) /(1+t)).(t^((1/(b−a))−1) /((b−a)))dt =(1/(a−b))∫_0 ^∞ (t^(((a−1)/(a−b))−1) /(1+t))dt β(x,y)=∫_0 ^∞ (t^(x−1) /((1+t)^(x+y) ))dx f(a,b)=(1/(a−b)).β(((a−1)/(a−b)),1−((a−1)/(a−b)))=(1/(a−b)).(π/(sin(π((a−1)/(a−b))))) f(a,b)=(π/((a−b)sin(((π(a−1))/(a−b)))));a>1>b

$$\alpha\geqslant\beta \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{a}} +\mathrm{x}^{\beta} =\mathrm{x}^{\beta} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{a}−\boldsymbol{\beta}} \right)\sim\mathrm{x}^{\beta} ,\mathrm{a}−\beta\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{integrable}\:\mathrm{if}\:\beta<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{a}} +\mathrm{x}^{\beta} =\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\beta−\alpha} \right)\sim\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \:\mathrm{integrable}\:\mathrm{if}\:\mathrm{a}>\mathrm{1},\mathrm{in}\:\infty \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{a}} +\mathrm{x}^{\mathrm{b}} },\:\:\mathrm{a}>\mathrm{1}>\mathrm{b} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{−\mathrm{a}} \mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{b}−\mathrm{a}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{b}−\mathrm{a}} =\mathrm{t}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}−\mathrm{a}}} \\ $$$$=\int_{\infty} ^{\mathrm{0}} \frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}.\frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}−\mathrm{a}}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\beta\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{x}+\mathrm{y}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}.\beta\left(\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}},\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}.\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\pi\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}\right)} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\frac{\pi}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\pi\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}−\mathrm{b}}\right)};\mathrm{a}>\mathrm{1}>\mathrm{b} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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