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Question Number 133068 by mnjuly1970 last updated on 18/Feb/21

....advanced.....calculus.... evaluation:: Σ_(k=2) ^∞ (−1)^k ( ((ζ(k)−1)/k)) :::𝚽=Σ_(k=2) ^∞ (−1)^k ((ζ(k)−1)/k) =Σ_(k=2) ^∞ (((−1)^k )/k) Σ_(n=2) ^∞ (1/n^k ) =Σ_(n=2) ^∞ (Σ_(k=2 ) ^∞ (((−1)^k )/(k n^k )))= =Σ_(n=2) ^∞ Σ_(k=2) ^∞ (((((−1)/n))^k )/k)=Σ_(n=2) ^∞ (((((1/n))^2 )/2)−((((1/n))^3 )/3)+...) =Σ_(n=2) ^∞ ((1/n)−(1/n)+((((1/n))^2 )/2)−((((1/n))^3 )/3)+..) =Σ_(n=2) ^∞ ((1/n)−ln(1+(1/n))) Φ_n =Σ_(i=1) ^n ((1/(i+1))−ln(1+(1/(i+1)))) =(Σ_(i=1) ^n (1/(i+1))) −(ln(3)−ln(2)+ln(4)−ln(3)+..+ln(n+2)−ln(n+1)) =ln(2)−ln(n+2)+Σ_(i=1) ^n (1/(i+1)) =ln(2)−1+{Σ_(i=1) ^n (1/i) −ln(n+2)} ∴ lim_(n→∞) (𝚽_n )= γ+1n(2)−1 𝚽=γ+ln(2)−1 .....

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:....{advanced}.....{calculus}.... \\ $$$$\:\:\:{evaluation}::\:\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \left(\:\frac{\zeta\left({k}\right)−\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$\:\:\:\::::\boldsymbol{\Phi}=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \:\frac{\zeta\left({k}\right)−\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}}\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\underset{{k}=\mathrm{2}\:} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}\:{n}^{{k}} }\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\frac{−\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{k}} }{{k}}=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+...\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+..\right) \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\Phi_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{i}+\mathrm{1}}−{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{i}+\mathrm{1}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}+\mathrm{1}}\right)\:−\left({ln}\left(\mathrm{3}\right)−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+{ln}\left(\mathrm{4}\right)−{ln}\left(\mathrm{3}\right)+..+{ln}\left({n}+\mathrm{2}\right)−{ln}\left({n}+\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−{ln}\left({n}+\mathrm{2}\right)+\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}+\left\{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}}\:−{ln}\left({n}+\mathrm{2}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\therefore\:\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left(\boldsymbol{\Phi}_{{n}} \right)=\:\gamma+\mathrm{1}{n}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\Phi}=\gamma+{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\:\:\:..... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 18/Feb/21

mamnoon(grateful) sir payan

$${mamnoon}\left({grateful}\right)\:{sir}\:{payan} \\ $$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 18/Feb/21

Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/n)(Σ_(k=2) ^∞ (1/k^n )) =Σ_(k=2) ^∞ Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/(nk^n ))=Σ_(k=2) ^∞ (−(1/k)+(1/(2k^2 ))−(1/(3k^3 ))+...)+(1/k) =Σ_(k=2) ^∞ (1/k)−log(1+(1/k)) =−1+log(2)+Σ_(k=1) ^∞ (1/k)−log(Π_(k=1) ^∞ ((k+1)/k)) =−1+log(2)+lim_(φ→∞) Σ_(k=1) ^∞ (1/k)−log(φ) =γ−1+log(2)

$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\left(\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{{n}} }\right) \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{nk}^{{n}} }=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}^{\mathrm{3}} }+...\right)+\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−{log}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{1}+{log}\left(\mathrm{2}\right)+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−{log}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{{k}+\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{1}+{log}\left(\mathrm{2}\right)+\underset{\phi\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−{log}\left(\phi\right) \\ $$$$=\gamma−\mathrm{1}+{log}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$

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