Question Number 104383 by abony1303 last updated on 21/Jul/20
$$\mathrm{When}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{differentiable}\:\mathrm{function} \\ $$$$\mathrm{satisfying}\:\:{x}\centerdot{f}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{2}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\:{x}} \left({x}−{t}\right)\centerdot{f}\:'\left({t}\right){dt} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\Rightarrow\:{f}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by abony1303 last updated on 21/Jul/20
$$\mathrm{Pls}\:\mathrm{help} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Jul/20
![xf(x)=x^2 +∫_0 ^x (x−t)f^′ (t)dt x=1 ⇒f(1) =1 +∫_0 ^1 (1−t)f^′ (t)dt by parts ∫_0 ^1 (1−t)f^′ (t)dt =[(1−t)f(t)]_0 ^1 −∫_0 ^1 (−1)f(t)dt =f(0)+∫_0 ^1 f(t)dt but f(0)=0 ⇒∫_0 ^1 (1−t)f^′ (t)dt =∫_0 ^1 f(t)dt ⇒ f(1) =1+∫_0 ^1 f(t)dt](Q104423.png)
$$\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{t}\right)\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{1}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:\:\mathrm{but}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{1}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$ \\ $$