Question Number 116603 by ZiYangLee last updated on 05/Oct/20
$$\mathrm{When}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right), \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{remainder}\:\mathrm{is}\:\left({x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{When}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right), \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{remainder}\:\mathrm{is}\:\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{remainder}\:\mathrm{if}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided} \\ $$$$\mathrm{by}\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right) \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 06/Oct/20
![From the hypothesis we have: f(x)=p(x)(x−1)(x+2)+x+3(1) f(x)=q(x)(x^2 +2x+5)+2x+1 ⇔f(x)=q(x)([x−(−1+2i)][x−(−1−2i)] +2x+1(2) We have x^2 +2x+5=0⇔x=−1±2i (2)⇒f(−1+2i)=2(−1+2i)+1=−1+4i f(−1−2i)=2(−1−2i)+1=−1−4i We need find r(x)=ax^2 +bx+c so that f(x)=h(x)(x−1)(x^2 +2x+5)+r(x)(3) From(1)(2)we get { ((f(1)=4,f(−2)=1)),((f(−1+2i)=−1+4i,f(−1−2i)=−1−4i)) :} Put into (3) we get i)4=f(1)=a+b+c ii)−1+4i=a(−1+2i)^2 +b(−1+2i)+c ⇔−1+4i=−5a−4ai−b+2bi+c ⇔(−5a−b+c+1)+(2b−4a−4)i=0 ⇔ { ((−5a−b+c+1=0)),((2b−4a−4=0)) :} iii)−1−4i=a(−1−2i)^2 +b(−1−2i)+c ⇔−1−4i=−5a+4ai−b−2bi+c ⇔−5a−b+c+1+(4a−2b+4)i=0 ⇔ { ((−5a−b+c+1=0)),((4a−2b+4=0)) :} We obtain the system of three eqns { ((a+b+c=4(4))),((−5a−b+c+1=0(5))),((4a−2b+4=0(6))) :} Substract (4) from (5)we get 6a+2b−5=0 ,adding this equation to (6) we get 10a−1=0⇒a=1/10 ⇒b=11/10,c=28/10.Therefore we get r(x)=0.1x^2 +1.1x+2.8](Q116749.png)
$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{x}+\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{2x}+\mathrm{1} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)\left(\left[\mathrm{x}−\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\right]\left[\mathrm{x}−\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\right]\right. \\ $$$$+\mathrm{2x}+\mathrm{1}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1}\pm\mathrm{2i} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)=\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)+\mathrm{1}=−\mathrm{1}+\mathrm{4i} \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)=\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)+\mathrm{1}=−\mathrm{1}−\mathrm{4i} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:\mathrm{find}\:\mathrm{r}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{r}\left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{4},\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{1}}\\{\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)=−\mathrm{1}+\mathrm{4i},\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)=−\mathrm{1}−\mathrm{4i}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{4}=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)−\mathrm{1}+\mathrm{4i}=\mathrm{a}\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{1}+\mathrm{4i}=−\mathrm{5a}−\mathrm{4ai}−\mathrm{b}+\mathrm{2bi}+\mathrm{c} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(−\mathrm{5a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2b}−\mathrm{4a}−\mathrm{4}\right)\mathrm{i}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{−\mathrm{5a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{2b}−\mathrm{4a}−\mathrm{4}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\left.\mathrm{iii}\right)−\mathrm{1}−\mathrm{4i}=\mathrm{a}\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{1}−\mathrm{4i}=−\mathrm{5a}+\mathrm{4ai}−\mathrm{b}−\mathrm{2bi}+\mathrm{c} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{5a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{4a}−\mathrm{2b}+\mathrm{4}\right)\mathrm{i}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{−\mathrm{5a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{4a}−\mathrm{2b}+\mathrm{4}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{obtain}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{three}\:\mathrm{eqns} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{4}\left(\mathrm{4}\right)}\\{−\mathrm{5a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\left(\mathrm{5}\right)}\\{\mathrm{4a}−\mathrm{2b}+\mathrm{4}=\mathrm{0}\left(\mathrm{6}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Substract}\:\left(\mathrm{4}\right)\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{5}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{6a}+\mathrm{2b}−\mathrm{5}=\mathrm{0}\:,\mathrm{adding}\:\mathrm{this}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{to} \\ $$$$\left(\mathrm{6}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{10a}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{1}/\mathrm{10} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{11}/\mathrm{10},\mathrm{c}=\mathrm{28}/\mathrm{10}.\mathrm{Therefore}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{r}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}.\mathrm{1x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}.\mathrm{1x}+\mathrm{2}.\mathrm{8} \\ $$