Question Number 192580 by Frix last updated on 21/May/23
$$\mathrm{This}\:\mathrm{might}\:\mathrm{be}\:\mathrm{helpful}: \\ $$$$\mathrm{How}\:\mathrm{to}\:\mathrm{easily}\:\mathrm{calculate}\:{z}_{\mathrm{1}} ^{{z}_{\mathrm{2}} } \:\mathrm{with}\:{z}_{\mathrm{1}} ,\:{z}_{\mathrm{2}} \:\in\mathbb{C}: \\ $$$$\mathrm{Transform}\:{z}_{\mathrm{1}} ={r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \:\mathrm{and}\:{z}_{\mathrm{2}} ={a}+{b}\mathrm{i}\:\Rightarrow \\ $$$${z}_{\mathrm{1}} ^{{z}_{\mathrm{2}} } =\left({r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \right)^{{a}+{b}\mathrm{i}} \\ $$$${z}_{\mathrm{1}} ^{{z}_{\mathrm{2}} } ={r}^{{a}+{b}\mathrm{i}} \mathrm{e}^{−{b}\theta+\mathrm{i}{a}\theta} \\ $$$${z}_{\mathrm{1}} ^{{z}_{\mathrm{2}} } ={r}^{{a}} \mathrm{e}^{−{b}\theta} {r}^{{b}\mathrm{i}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}{a}\theta} \\ $$$${z}_{\mathrm{1}} ^{{z}_{\mathrm{2}} } =\frac{{r}^{{a}} }{\mathrm{e}^{{b}\theta} }\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left({a}\theta+{b}\mathrm{ln}\:{r}\right)} \\ $$