Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Permutation and Combination Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Next in Permutation and Combination      

Question Number 23 by user1 last updated on 25/Jan/15

Sum the series Σ_(n=0) ^∞ P_r (n)(x^n /(n!)) , where P_r (n)   is a polynomial of degree r in n.

$$\mathrm{Sum}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series}\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\boldsymbol{\mathrm{P}}_{{r}} \left({n}\right)\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:,\:\mathrm{where}\:\boldsymbol{\mathrm{P}}_{{r}} \left({n}\right)\: \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{polynomial}\:\mathrm{of}\:\mathrm{degree}\:{r}\:\mathrm{in}\:{n}. \\ $$

Answered by user1 last updated on 31/Oct/14

P_r (n)=a_0 +a_1 n+a_2 n(n−1)+....+a_r n(n−1)...(n−r+1),       Σ_(n=0) ^∞ P_r (n)(x^n /(n!))=a_0 Σ_(n=0) ^∞  (x^n /(n!))+a_1 Σ_(n=1) ^∞  (x^n /((n−1)!))                   +a_2 Σ_(n=2) ^∞  (x^n /((n−2)!))+....a_r Σ_(n=r) ^∞  (x^n /((n−r)!))  =a_0 Σ_(n=0) ^∞  (x^n /(n!))+a_1 xΣ_(n=1) ^∞  (x^(n−1) /((n−1)!))+a_2 xΣ_(n=2) ^∞  (x^(n−2) /((n−2)!))+...                          ...+a_r x^r Σ_(n=r) ^∞  (x^(n−r) /((n−r)!))  (a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_r x^r )e^x

$$\mathrm{P}_{{r}} \left({n}\right)={a}_{\mathrm{0}} +{a}_{\mathrm{1}} {n}+{a}_{\mathrm{2}} {n}\left({n}−\mathrm{1}\right)+....+{a}_{{r}} {n}\left({n}−\mathrm{1}\right)...\left({n}−{r}+\mathrm{1}\right),\:\:\:\:\: \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{P}_{{r}} \left({n}\right)\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}={a}_{\mathrm{0}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}+{a}_{\mathrm{1}} \underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+{a}_{\mathrm{2}} \underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{\left({n}−\mathrm{2}\right)!}+....{a}_{{r}} \underset{{n}={r}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{\left({n}−{r}\right)!} \\ $$$$={a}_{\mathrm{0}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}+{a}_{\mathrm{1}} {x}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+{a}_{\mathrm{2}} {x}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{2}} }{\left({n}−\mathrm{2}\right)!}+... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:...+{a}_{{r}} {x}^{{r}} \underset{{n}={r}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{{x}^{{n}−{r}} }{\left({n}−{r}\right)!} \\ $$$$\left({a}_{\mathrm{0}} +{a}_{\mathrm{1}} {x}+{a}_{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} +...+{a}_{{r}} {x}^{{r}} \right){e}^{{x}} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com