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Question Number 12245 by tawa last updated on 16/Apr/17 | ||
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\frac{\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{2y}\:−\:\mathrm{3}}{\mathrm{8x}\:−\:\mathrm{4y}\:+\:\mathrm{5}} \\ $$ | ||
Answered by mrW1 last updated on 17/Apr/17 | ||
$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\frac{\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{2y}\:−\:\mathrm{3}}{\mathrm{8x}\:−\:\mathrm{4y}\:+\:\mathrm{5}} \\ $$$$ \\ $$$${let}\:{y}={u}−{p} \\ $$$${let}\:{x}={v}−{q} \\ $$$${with}\:{p},{q}={constants} \\ $$$${dy}={du} \\ $$$${dx}={dv} \\ $$$$\mathrm{4}\left({v}−{q}\right)+\mathrm{2}\left({u}−{p}\right)−\mathrm{3}=\mathrm{4}{v}+\mathrm{2}{u}+\left(−\mathrm{4}{q}−\mathrm{2}{p}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{8}\left({v}−{q}\right)−\mathrm{4}\left({u}−{p}\right)+\mathrm{5}=\mathrm{8}{v}−\mathrm{4}{u}+\left(−\mathrm{8}{q}+\mathrm{4}{p}+\mathrm{5}\right) \\ $$$$ \\ $$$$−\mathrm{4}{q}−\mathrm{2}{p}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\:\:\left({i}\right) \\ $$$$−\mathrm{8}{q}+\mathrm{4}{p}+\mathrm{5}=\mathrm{0}\:\:\:\:\left({ii}\right) \\ $$$$\left({ii}\right)−\left({i}\right)×\mathrm{2}: \\ $$$$\mathrm{8}{p}+\mathrm{11}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{p}=−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\left({ii}\right)+\left({i}\right)×\mathrm{2}: \\ $$$$−\mathrm{16}{q}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{q}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\frac{\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{2y}\:−\:\mathrm{3}}{\mathrm{8x}\:−\:\mathrm{4y}\:+\:\mathrm{5}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{v}}\:=\:\frac{\mathrm{4}{v}\:+\:\mathrm{2}{u}}{\mathrm{8}{v}\:−\:\mathrm{4}{u}} \\ $$$${let}\:{u}={wv} \\ $$$$\frac{{du}}{{dv}}={w}+{v}\frac{{dw}}{{dv}} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{v}}\:=\:\frac{\mathrm{4}{v}\:+\:\mathrm{2}{u}}{\mathrm{8}{v}\:−\:\mathrm{4}{u}}\Rightarrow \\ $$$${w}+{v}\frac{{dw}}{{dv}}=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2}{w}}{\mathrm{8}−\mathrm{4}{w}}=\frac{\mathrm{2}+{w}}{\mathrm{4}−\mathrm{2}{w}} \\ $$$${v}\frac{{dw}}{{dv}}=\frac{\mathrm{2}+{w}}{\mathrm{4}−\mathrm{2}{w}}−{w}=\frac{\mathrm{2}−\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}−\mathrm{2}{w}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}−{w}}{\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}}{dw}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{v}}{dv} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2}−{w}}{\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}}{dw}=\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{v}}{dv} \\ $$$$\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}}{dw}−\int\frac{{w}}{\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}}{dw}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:{v}+{C} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{4}×\mathrm{2}×\mathrm{2}−\mathrm{9}}=\sqrt{\mathrm{7}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}}{dw}=\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{4}{w}−\mathrm{3}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\right) \\ $$$$\int\frac{{w}}{\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}}{dw}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{4}{w}−\mathrm{3}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{4}{w}−\mathrm{3}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:{v}+{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{4}{w}−\mathrm{3}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{w}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{ln}\:{v}+{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{4}{u}−\mathrm{3}{v}}{\sqrt{\mathrm{7}}{v}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left[\mathrm{2}\left(\frac{{u}}{{v}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left(\frac{{u}}{{v}}\right)+\mathrm{2}\right]=\mathrm{ln}\:{v}+{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left[\frac{\mathrm{4}\left({y}−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{8}}\right)−\mathrm{3}\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\right)}{\sqrt{\mathrm{7}}\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\right)}\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left[\mathrm{2}\left(\frac{{y}−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{8}}}{{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left(\frac{{y}−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{8}}}{{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}}\right)+\mathrm{2}\right]=\mathrm{ln}\:\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\right)+{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left[\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{16}{y}−\mathrm{22}\right)−\mathrm{3}\left(\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}\right)}{\sqrt{\mathrm{7}}\left(\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}\right)}\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left[\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{16}{y}−\mathrm{22}}{\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{16}{y}−\mathrm{22}}{\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{2}\right]=\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\right)+{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left[\frac{\mathrm{64}{y}−\mathrm{48}{x}−\mathrm{85}}{\sqrt{\mathrm{7}}\left(\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}\right)}\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left[\mathrm{8}\left(\frac{\mathrm{8}{y}−\mathrm{11}}{\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}\left(\frac{\mathrm{8}{y}−\mathrm{11}}{\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}}\right)+\mathrm{2}\right]=\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{16}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\right)+{C} \\ $$ | ||
Commented by tawa last updated on 17/Apr/17 | ||
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir}. \\ $$ | ||