Question Number 175746 by Mastermind last updated on 06/Sep/22 | ||
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{2xy}+\mathrm{4y}−\mathrm{3}\right)\mathrm{dx}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dy}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Mastermind} \\ $$ | ||
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 06/Sep/22 | ||
$$\mathrm{2}\left(\mathrm{2xy}+\mathrm{4y}−\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4y}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{4y}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{multipling}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{by}\:\mathrm{e}^{\int\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\mathrm{dx}} \\ $$$$\left[\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{4y}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\right]\mathrm{e}^{\mathrm{4ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} =\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\mathrm{4ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{e}^{\mathrm{4ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} +\frac{\mathrm{4y}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{4ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} =\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\mathrm{4ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\left[\mathrm{ye}^{\mathrm{4ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \right]^{'} =\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\mathrm{4ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\left[\mathrm{y}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} \right]'=\mathrm{6}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} =\int\mathrm{6}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{24x}+\mathrm{C} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{24x}+\mathrm{C}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by Mastermind last updated on 06/Sep/22 | ||
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{man} \\ $$ | ||