Question Number 217389 by Simurdiera last updated on 12/Mar/25
$$\mathrm{Resolver} \\ $$$$\frac{\mid{x}\:−\:\mathrm{1}\mid\:+\:\mid{x}\:+\:\mathrm{2}\mid}{\mid{x}\mid\:−\:\mathrm{1}}\:\leq\:\mathrm{3} \\ $$
Answered by A5T last updated on 13/Mar/25
![when −2≤x<−1; ∣x−1∣=1−x, ∣x+2∣=x+2∧ ∣x∣=−x ⇒((∣x−1∣+∣x+2∣)/(∣x∣−1))≤3⇒((1−x+x+2)/(−x−1))≤3 ⇒3≤−3x−3⇒x≤−2 but −2≤x<−1⇒ x=−2 when −1<x<0 ⇒∣x∣=−x, ∣x−1∣=1−x and ∣x+2∣=x+2 ⇒((∣x−1∣+∣x+2∣)/(∣x∣−1))≤3⇒((1−x+x+2)/(−x−1))≤3 −x−1<0⇒3≥3(−x−1)⇒2≥−x ⇒x≥−2 but −1<x<0 ⇒ x∈ (−1,0) x=0 makes it true when 0<x<1; ∣x−1∣=1−x, ∣x+2∣=x+2 ∧ ∣x∣=x ⇒((∣x−1∣+∣x+2∣)/(∣x∣−1))≤3⇒((1−x+x+2)/(x−1))≤3 x−1<0⇒3≥3(x−1) ⇒x≤1 but 0<x<1⇒ x∈(0,1) when x>1; ∣x−1∣=x−1, ∣x+2∣=x+2 ∧ ∣x∣=x ⇒((∣x−1∣+∣x+2∣)/(∣x∣−1))≤3⇒((x−1+x+2)/(x−1))≤3 ⇒2x+1≤3x−3 ⇒x≥4 but x>1 ⇒x∈ [4,∞) when x<−2; ∣x−1∣=1−x, ∣x+2∣=−x−2 ∧ ∣x∣=−x ⇒((∣x−1∣+∣x+2∣)/(∣x∣−1))≤3⇒ ((1−x−x−2)/(−x−1))≤3 ⇒−2x−1≤−3x−3 ⇒x≤−2 but x<−2 ⇒ x∈ (−∞,−2) ⇒ x ∈ (−∞,−2] ∪ (−1,1) ∪ [4,∞)](Q217391.png)
$$\mathrm{when}\:−\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}<−\mathrm{1};\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−\mathrm{x},\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=\mathrm{x}+\mathrm{2}\wedge\:\mid\mathrm{x}\mid=−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}\leqslant−\mathrm{3x}−\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{but}\:−\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}<−\mathrm{1}\Rightarrow\:\mathrm{x}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{when}\:−\mathrm{1}<\mathrm{x}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{x}\mid=−\mathrm{x},\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=\mathrm{x}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$−\mathrm{x}−\mathrm{1}<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{3}\geqslant\mathrm{3}\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{2}\geqslant−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{but}\:−\mathrm{1}<\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{makes}\:\mathrm{it}\:\mathrm{true} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{0}<\mathrm{x}<\mathrm{1};\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−\mathrm{x},\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\wedge\:\mid\mathrm{x}\mid=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}−\mathrm{1}<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{3}\geqslant\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant\mathrm{1}\:\mathrm{but}\:\mathrm{0}<\mathrm{x}<\mathrm{1}\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{x}>\mathrm{1};\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{x}−\mathrm{1},\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\wedge\:\mid\mathrm{x}\mid=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}+\mathrm{1}\leqslant\mathrm{3x}−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\geqslant\mathrm{4}\:\mathrm{but}\:\mathrm{x}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}\in\:\left[\mathrm{4},\infty\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{x}<−\mathrm{2};\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−\mathrm{x},\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=−\mathrm{x}−\mathrm{2}\:\wedge\:\mid\mathrm{x}\mid=−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}−\mathrm{x}−\mathrm{2}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{2x}−\mathrm{1}\leqslant−\mathrm{3x}−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{but}\:\mathrm{x}<−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\:\left(−\infty,−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\:\in\:\left(−\infty,−\mathrm{2}\right]\:\cup\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{1}\right)\:\cup\:\left[\mathrm{4},\infty\right) \\ $$
Commented by Simurdiera last updated on 12/Mar/25
$${Gracias}\:\underline{\underbrace{\lesseqgtr}} \\ $$
Commented by Hanuda354 last updated on 13/Mar/25
![x ∈ (−∞,−2] ∪ (−1,1) ∪ [4,∞)](Q217407.png)
$$\:\:\:\mathrm{x}\:\in\:\left(−\infty,−\mathrm{2}\right]\:\cup\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{1}\right)\:\cup\:\left[\mathrm{4},\infty\right) \\ $$$$ \\ $$
Answered by mehdee7396 last updated on 12/Mar/25
![x=0,1,−2 if x≤−2 (1) ⇒((−x+1−x−2)/(−x−1))−3≤0 ((x+2)/(−x−1))≤0⇒x≤−2 or x>−1 (2) (1)∩(2)⇒x≤−2 (i) if −2≤x≤0 (1) ⇒((−x+1+x+2)/(−x−1))−3≤0 ((3x+6)/(−x−1))≤0⇒x≤−2 or x>−1 (2) (1)∩(2)⇒x∈{−2}∪ (−1,0] (ii) if 0≤x<1 (1) ⇒((−x+1+x+2)/(x−1))−3≤0 ((−3x+6)/(x−1))≤0⇒x<1 or x≥2 (2) (1)∩(2)⇒0≤x<1 (iii) if 1<x (1) ⇒((x−1+x+2)/(x−1))−3≤0 ((−x+4)/(x−1))≤0⇒x<1 or x≥4 (2) (1)∩(2)⇒x=1 or x≥4 (iv) (i)∪(ii)∪(iii)∪(iv)=(−∞,−2]∪(−1,1)∪[4,∞)](Q217398.png)
$${x}=\mathrm{0},\mathrm{1},−\mathrm{2} \\ $$$${if}\:\:\:{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{−{x}+\mathrm{1}−{x}−\mathrm{2}}{−{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{x}+\mathrm{2}}{−{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\:{or}\:\:{x}>−\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\:\left({i}\right) \\ $$$${if}\:\:\:−\mathrm{2}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{−{x}+\mathrm{1}+{x}+\mathrm{2}}{−{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{x}+\mathrm{6}}{−{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\:{or}\:\:{x}>−\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow{x}\in\left\{−\mathrm{2}\right\}\cup\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{0}\right]\:\:\left({ii}\right) \\ $$$${if}\:\:\:\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{−{x}+\mathrm{1}+{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{−\mathrm{3}{x}+\mathrm{6}}{{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{x}<\mathrm{1}\:{or}\:\:{x}\geqslant\mathrm{2}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{1}\:\left({iii}\right) \\ $$$${if}\:\:\:\mathrm{1}<{x}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{{x}−\mathrm{1}+{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{−{x}+\mathrm{4}}{{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{x}<\mathrm{1}\:{or}\:\:{x}\geqslant\mathrm{4}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow{x}=\mathrm{1}\:{or}\:{x}\geqslant\mathrm{4}\:\:\left({iv}\right) \\ $$$$\left({i}\right)\cup\left({ii}\right)\cup\left({iii}\right)\cup\left({iv}\right)=\left(−\infty,−\mathrm{2}\right]\cup\left(−\mathrm{1},\mathrm{1}\right)\cup\left[\mathrm{4},\infty\right) \\ $$$$ \\ $$