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Question Number 78655 by Pratah last updated on 19/Jan/20

Commented by mr W last updated on 19/Jan/20

=e^e^(...^e^e ) −e^e^(...^e )

$$={e}^{{e}^{...^{{e}^{{e}} } } } −{e}^{{e}^{...^{{e}} } } \\ $$

Commented by john santu last updated on 19/Jan/20

hahaha....

$${hahaha}.... \\ $$

Answered by mind is power last updated on 19/Jan/20

∫e^e^x e^x dx=e^e^x +c ∫e^e^e^x .e^e^x e^x dx,e^x =u=∫e^e^u e^u du=e^e^u +c=e^e^e^x +c let f_n (x)=e^(....e^x ) ,n times f_1 (x)=e^x ,f_2 (x)=e^e^x ,claim ∫f_n (x).f_(n−1) (x).....f_1 (x)dx=f_n (x)+c By inductition n=1∫f_1 (x)dx=∫e^x dx=e^x +c=f_1 +c True ∫f_(n+1) (x).f_n (x)......f_1 (x)dx=∫f_(n+1) (x)...e^x dx e^x =u⇒e^x dx=du ∫f_(n+1) (x).f_n (x)......e^x dx=∫f_n (e^x ).....f_1 (e^x ).e^x dx =∫f_n (u).....f_1 (u)du=f_n (u)+c By hypothese of recursion =f_n (e^x )+c=f_(n+1) (x)+c Proved in our exemple n=10 ∫f_(10) (x)......f_1 (x)dx=f_(10) (x)+c

$$\int\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} } \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} } +\mathrm{c} \\ $$$$\int\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} } } .\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} } \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx},\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =\mathrm{u}=\int\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} } \mathrm{e}^{\mathrm{u}} \mathrm{du}=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} } +\mathrm{c}=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} } } +\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{let}\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{....\mathrm{e}^{\mathrm{x}} } ,\mathrm{n}\:\mathrm{times} \\ $$$$\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} ,\mathrm{f}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} } ,\mathrm{claim} \\ $$$$\int\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right).....\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{inductition}\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\int\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{c}=\mathrm{f}_{\mathrm{1}} +\mathrm{c}\:\mathrm{True} \\ $$$$\int\mathrm{f}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)......\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int\mathrm{f}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)...\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\mathrm{du} \\ $$$$\int\mathrm{f}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)......\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\int\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right).....\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right).\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\int\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{u}\right).....\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}=\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{c}\:\mathrm{By}\:\mathrm{hypothese}\:\mathrm{of}\:\mathrm{recursion} \\ $$$$=\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)+\mathrm{c}=\mathrm{f}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{c}\:\mathrm{Proved} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{our}\:\mathrm{exemple}\:\mathrm{n}=\mathrm{10} \\ $$$$\int\mathrm{f}_{\mathrm{10}} \left(\mathrm{x}\right)......\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{f}_{\mathrm{10}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by Pratah last updated on 19/Jan/20

thanks

$$\mathrm{thanks} \\ $$

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