Question Number 62263 by Tawa1 last updated on 18/Jun/19
Answered by behi83417@gmail.com last updated on 19/Jun/19
![x+(√(x−2))=a⇒(2/a)=(1/(x+(√(x−2))))=((x−(√(x−2)))/1) (2/a)+(√a)=3⇒a(√a)−3a+2=0 (√a)=t⇒t^3 −3t^2 +2=0 ⇒(t−1)(t^2 +mt+n)=t^3 −3t^2 +2 t=0⇒−n=2⇒n=−2 t=−1⇒−2(1−m−2)=−1−3+2 ⇒−m−1=1⇒m=−2 ⇒(t−1)(t^2 −2t−2)=0 1. { ((t=1⇒(√a)=1⇒a=1⇒x+(√(x−2))=1)),((⇒x−2=1−2x+x^2 ⇒x^2 −3x+3=0)) :} ⇒x=((3±(√(9−12)))/2)=(1/2)(3±i(√3)) 2. { ((t^2 −2t−2=0⇒(t−1)^2 =3⇒t=1±(√3))),((a=(1±(√3))^2 )) :} x+(√(x−2))=a⇒x−2=a^2 −2ax+x^2 ⇒x^2 −(2a+1)x+a^2 +2=0 x=((2a+1±(√(4a^2 +4a+1−4a^2 −8)))/2) x=((2a+1±(√(4a−7)))/2)=(1/2)[9±2(√3)±(√(9±8(√3)))] 4a−7=4(4±2(√3))−7=9±8(√3) 2a+1=2(4±(√3))+1=9±2(√3)](Q62295.png)
$$\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}=\mathrm{a}\Rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{a}}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{a}}−\mathrm{3a}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{a}}=\mathrm{t}\Rightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{mt}+\mathrm{n}\right)=\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{0}\Rightarrow−\mathrm{n}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{n}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{t}=−\mathrm{1}\Rightarrow−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{m}−\mathrm{2}\right)=−\mathrm{1}−\mathrm{3}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{m}−\mathrm{1}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{m}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{1}.\begin{cases}{\mathrm{t}=\mathrm{1}\Rightarrow\sqrt{\mathrm{a}}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}=\mathrm{1}}\\{\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{1}−\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{9}−\mathrm{12}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}\pm\boldsymbol{\mathrm{i}}\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\mathrm{2}.\begin{cases}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{t}=\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{a}=\left(\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }\end{cases} \\ $$$$\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}=\mathrm{a}\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4a}+\mathrm{1}−\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{4a}−\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{9}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\pm\sqrt{\mathrm{9}\pm\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}\right] \\ $$$$\mathrm{4a}−\mathrm{7}=\mathrm{4}\left(\mathrm{4}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{9}\pm\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{2a}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\left(\mathrm{4}\pm\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{9}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 19/Jun/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$