Question Number 48484 by Meritguide1234 last updated on 24/Nov/18 | ||
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 24/Nov/18 | ||
$${trying}\:{to}\:{solve} \\ $$$${let}\:{in}\:{place}\:{of}\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\:{putting}\:\:{a}\:\:\:\:\:{a}=\sqrt{\mathrm{3}}\: \\ $$$${finding}\:{the}\:{values}\:{of}\:{x}\:\:{so}\:{that} \\ $$$${sinax}={sinx} \\ $$$${ax}={k}\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {x} \\ $$$${ax}=\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{1}} {x}\:\:{for}\:{k}=\mathrm{1}\:\:\:{x}=\frac{\pi}{{a}+\mathrm{1}} \\ $$$${ax}=\mathrm{2}\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:{for}\:{k}=\mathrm{2}\:\:\:{x}=\frac{\mathrm{2}\pi}{{a}−\mathrm{1}} \\ $$$${ax}=\mathrm{3}\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} {x}\:\:\:{for}\:{k}=\mathrm{3}\:\:{x}=\frac{\mathrm{3}\pi}{{a}+\mathrm{1}} \\ $$$${ax}=\mathrm{4}\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} {x}\:\:{for}\:{k}=\mathrm{4}\:\:\:{x}=\frac{\mathrm{4}\pi}{{a}−\mathrm{1}} \\ $$$${ax}=\mathrm{5}\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} {x}\:\:\:{for}\:{k}=\mathrm{5}\:\:\:\:{x}=\frac{\mathrm{5}\pi}{{a}+\mathrm{1}} \\ $$$${ax}=\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {x}\:\:\:{k}={n}−\mathrm{1}\:\:{x}=\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$${ax}={n}\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}\:\:{k}={n}\:\:\:{x}=\frac{{n}\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} } \\ $$$${now}\:\:{in}\:{between}\:{two}\:{consequtive}\:{interval}\:{the}\:{value}\:{of} \\ $$$${max}\left\{{sinx},{sinax}\right\}\:{is}=\mathrm{1} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{{a}+\mathrm{1}}} \mathrm{1}.{dx}+\int_{\frac{\pi}{{a}+\mathrm{1}}} ^{\frac{\mathrm{2}\pi}{{a}−\mathrm{1}}} \:{dx}+\int_{\frac{\mathrm{2}\pi}{{a}−\mathrm{1}\:}} ^{\frac{\mathrm{3}\pi}{{a}+\mathrm{1}}} \:{dx}+\int_{\frac{\mathrm{3}\pi}{{a}+\mathrm{1}}} ^{\frac{\mathrm{4}\pi}{{a}−\mathrm{1}}} \:{dx}+...+ \\ $$$$\:\:\int_{\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }} ^{\frac{{n}\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }} \:{dx} \\ $$$$=\left\{\frac{\pi}{{a}+\mathrm{1}}−\mathrm{0}\right\}+\left\{\frac{\mathrm{2}\pi}{{a}−\mathrm{1}}−\frac{\pi}{{a}+\mathrm{1}}\right\}+\left\{\frac{\mathrm{3}\pi}{{a}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}\pi}{{a}−\mathrm{1}}\right\}+...+ \\ $$$$\left\{\frac{{n}\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }\right\} \\ $$$$\:{all}\:{terms}\:{cacelled}\:{each}\:{other}\: \\ $$$${the}\:{value}\:{of}\:{intregal}\:{is} \\ $$$$=\frac{{n}\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$${now}\: \\ $$$${li}\underset{{n}\rightarrow\infty} {{m}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left[\frac{{n}\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }\right] \\ $$$$={li}\underset{{n}\rightarrow\infty} {{m}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left[{n}\left\{\frac{\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }−\frac{\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }\right\}+\frac{\pi}{{a}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }\right] \\ $$$${so}\:{ans}\:{is}\:=\frac{\pi}{{a}+\mathrm{1}}\:{or}\:\frac{\pi}{{a}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}}\:\:{or}\:\frac{\pi}{\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}} \\ $$$${i}\:{have}\:{tried}\:{to}\:{solve}... \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$... \\ $$$$... \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$ | ||