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Question Number 215708 by essaad last updated on 15/Jan/25

Answered by A5T last updated on 15/Jan/25

(i)+(ii)⇒n^3 +y^3 =0⇒(n+y)(n^2 +y^2 −ny)=0...(iii) (i)−(ii)⇒4n^3 −4y^3 −8n+8y=0 ⇒n^3 −y^3 −2n+2y=0 (n−y)(n^2 +y^2 +ny−2)=0...(iv) (iii)&(iv) must be true implies Case I: n+y=0 and n^2 +y^2 +ny−2=0 ⇒y^2 =2⇒y=+_− (√2) ⇒(n,y)=((√2),−(√2));(−(√2),(√2)) Case II: n+y=0 and n−y=0⇒(n,y)=(0,0) Case III: n^2 +y^2 −ny=0 and n−y=0⇒(n,y)=(0,0) Case IV: n^2 +y^2 −ny=0 and n^2 +y^2 +ny−2=0 ⇒(n+y)^2 =3ny and (n+y)^2 =ny+2 ⇒ny=1 ⇒(n+y)=+_− (√3) n,y satisfy x^2 +^− (√3)x+1=0 ⇒n,y=(((+_− )(√3)+_− (√(3−4(1))))/2)=(((+_− )(√3)+_− i)/2) (n,y) =((((√3)+i)/2),(((√3)−i)/2));(((−(√3)+i)/2),((−(√3)−i)/2));((√2),−(√2));(0,0) upto permutation since equation is symmetric.

$$\left(\mathrm{i}\right)+\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{n}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ny}\right)=\mathrm{0}...\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)−\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\mathrm{4n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{8n}+\mathrm{8y}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2n}+\mathrm{2y}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{n}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ny}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}...\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\&\left(\mathrm{iv}\right)\:\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\mathrm{true}\:\mathrm{implies} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{I}:\:\mathrm{n}+\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ny}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{y}=\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{n},\mathrm{y}\right)=\left(\sqrt{\mathrm{2}},−\sqrt{\mathrm{2}}\right);\left(−\sqrt{\mathrm{2}},\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{II}:\:\mathrm{n}+\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}−\mathrm{y}=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{n},\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{III}:\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ny}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}−\mathrm{y}=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{n},\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{IV}:\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ny}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ny}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{n}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3ny}\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{ny}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ny}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\left(\mathrm{n}+\mathrm{y}\right)=\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{n},\mathrm{y}\:\mathrm{satisfy}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \overset{−} {+}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n},\mathrm{y}=\frac{\left(\underset{−} {+}\right)\sqrt{\mathrm{3}}\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{3}−\mathrm{4}\left(\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{2}}=\frac{\left(\underset{−} {+}\right)\sqrt{\mathrm{3}}\underset{−} {+}\mathrm{i}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{n},\mathrm{y}\right) \\ $$$$=\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}}{\mathrm{2}},\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right);\left(\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}}{\mathrm{2}},\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right);\left(\sqrt{\mathrm{2}},−\sqrt{\mathrm{2}}\right);\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right)\: \\ $$$$\mathrm{upto}\:\mathrm{permutation}\:\mathrm{since}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{is}\:\mathrm{symmetric}. \\ $$

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