Question Number 210291 by Ismoiljon_008 last updated on 05/Aug/24
Answered by mr W last updated on 06/Aug/24
$${x}=\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} }=\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }=\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +{x}\left({x}+\mathrm{4}\right)}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{6}\right)}}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}+\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}+\mathrm{4}\right)\left({x}+\mathrm{8}\right)}}}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +{x}\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}+\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left({x}+\mathrm{4}\right)\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +...}}}}} \\ $$$${with}\:{x}=\mathrm{5}: \\ $$$$\mathrm{5}=\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{4}+...}}}}} \\ $$