Geometry Questions

Question Number 209314 by SonGoku last updated on 06/Jul/24

Commented by SonGoku last updated on 06/Jul/24

$$\mathrm{How}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{polygon}? \\$$

Commented by mr W last updated on 07/Jul/24

$${you}\:{can}\:{only}\:{find}\:{the}\:{perimeter}\:{of} \\$$$${the}\:{polygon},\:{nothing}\:{else}\:{of}\:{it}. \\$$

Commented by SonGoku last updated on 07/Jul/24

$$\mathrm{So}\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{way}\:\mathrm{to}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{diagonal}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ang} \\$$$$\mathrm{irreular}\:\mathrm{polygon},\:\mathrm{like}\:\mathrm{the}\:\mathrm{one}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{image},\:\mathrm{is}\:\mathrm{onlyo} \\$$$$\mathrm{thrugh}\:\mathrm{practice}?\:\mathrm{In}\:\mathrm{other}\:\mathrm{words},\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{field}? \\$$

Commented by Frix last updated on 07/Jul/24

$$\mathrm{Diagonal}={d} \\$$$$\\$$$$\mathrm{18}<{d}<\mathrm{35} \\$$$$\\$$$$\frac{\sqrt{\mathrm{197319}}}{\mathrm{4}}<\mathrm{area}\leqslant\frac{\sqrt{\mathrm{1278519}}}{\mathrm{4}} \\$$$$\:\:\:\:\:\left(\mathrm{min}\:\mathrm{at}\:{d}=\mathrm{35},\:\mathrm{max}\:\mathrm{at}\:{d}=\frac{\sqrt{\mathrm{638290}}}{\mathrm{29}}\right) \\$$

Commented by Frix last updated on 07/Jul/24

$$\mathrm{For}\:\mathrm{1}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{you}\:\mathrm{need}\:\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{3}\:\mathrm{measurements}. \\$$$$\mathrm{In}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case},\:\mathrm{you}\:\mathrm{need}\:\mathrm{1}\:\mathrm{additional}\:\mathrm{measurment} \\$$$$\mathrm{for}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{triangles},\:\mathrm{the}\:\mathrm{rest}\:\mathrm{follows}. \\$$

Commented by SonGoku last updated on 08/Jul/24

$$\mathrm{But},\:\mathrm{how}\:\mathrm{did}\:\mathrm{you}\:\mathrm{at}\:\mathrm{these}\:\mathrm{calculations}? \\$$

Commented by Frix last updated on 08/Jul/24

$$\mathrm{1}^{\mathrm{st}} \:\mathrm{triangle}\:\mathrm{10},\:\mathrm{28},\:{d}\:\Rightarrow\:\mathrm{18}<{d}<\mathrm{38} \\$$$$\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \:\mathrm{triangle}\:\mathrm{15},\:\mathrm{20},\:{d}\:\Rightarrow\:\mathrm{5}<{d}<\mathrm{35} \\$$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{18}<{d}<\mathrm{35} \\$$$$\mathrm{Area}\:\mathrm{of}\:\mathrm{triangle}\:{a},\:{b},\:{c} \\$$$$\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\left({a}+{b}+{c}\right)\left({b}+{c}−{a}\right)\left({a}+{c}−{b}\right)\left({a}+{b}−{c}\right)}}{\mathrm{4}} \\$$$$\mathrm{Area}\:\mathrm{of}\:\mathrm{1}^{\mathrm{st}} \:\mathrm{triangle} \\$$$$\:\:\:\:\:{A}_{\mathrm{1}} =\frac{\sqrt{−{d}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1768}{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{467856}}}{\mathrm{4}} \\$$$$\mathrm{Area}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \:\mathrm{triangle} \\$$$$\:\:\:\:\:{A}_{\mathrm{2}} =\frac{\sqrt{−{d}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1250}{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{30625}}}{\mathrm{4}} \\$$$$\mathrm{For}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{obviously}\:{d}=\mathrm{18}\:\Rightarrow\:{A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\$$$$\mathrm{For}\:\mathrm{the}\:\mathrm{maximum}\:\mathrm{I}\:\mathrm{used}\:\mathrm{differentiation} \\$$

Commented by mr W last updated on 08/Jul/24

$${maximum}\:{area}\:{is}\:{when}\:{the} \\$$$${quadilateral}\:{is}\:{cyclic}. \\$$$${s}=\frac{{a}+{b}+{c}+{d}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{10}+\mathrm{28}+\mathrm{15}+\mathrm{20}}{\mathrm{2}}=\mathrm{36}.\mathrm{5} \\$$$${A}_{{max}} =\sqrt{\left({s}−{a}\right)\left({s}−{b}\right)\left({s}−{c}\right)\left({s}−{d}\right)} \\$$$$\:\:\:=\sqrt{\left(\mathrm{36}.\mathrm{5}−\mathrm{10}\right)\left(\mathrm{36}.\mathrm{5}−\mathrm{28}\right)\left(\mathrm{36}.\mathrm{5}−\mathrm{15}\right)\left(\mathrm{36}.\mathrm{5}−\mathrm{20}\right)} \\$$$$\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{1278519}}}{\mathrm{4}} \\$$$${see}\:{also}\:{Q}\mathrm{30233} \\$$

Commented by SonGoku last updated on 09/Jul/24

$$\mathrm{Very}\:\mathrm{sophisticated}.\: \\$$$$\mathrm{Congratulations} \\$$$$\mathrm{I}\:\mathrm{willa}\:\mathrm{study}. \\$$$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}. \\$$

Commented by SonGoku last updated on 09/Jul/24

$$\mathrm{So},\:\mathrm{can}\:\mathrm{I}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{formula}\:\mathrm{to}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{area}\:\mathrm{of} \\$$$$\mathrm{any}\:\mathrm{quadrilateral}? \\$$

Commented by mr W last updated on 09/Jul/24

$${no}!\:{it}'{s}\:{only}\:{for}\:{so}−{called}\:{cyclic} \\$$$${quadrilaterals}. \\$$$${generally}\:{a}\:{quadrilateral}\:{is}\:{not} \\$$$${uniquely}\:{defined}\:{when}\:{only}\:{its}\:{four} \\$$$${sides}\:{are}\:{given}.\:{you}\:{need}\:{an} \\$$$${additional}\:{condition}. \\$$