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Question Number 206862 by hardmath last updated on 28/Apr/24

Commented by SWPlaysMC last updated on 29/Apr/24

Easiest way I thought of proving this (I partially solved this) Let a=1, b=1, and c=1 (Hint: if any one of these is 0 then expression is theoretically undefined due to ÷ by 0) (((√(1/1))+(1/1))/( (√(1/1))+(√(1/1))))+(((√(1/1))+(1/1))/( (√(1/1))+(√(1/1))))+(((√(1/1))+(1/1))/( (√(1/1))+(√(1/1))))≥3 so all (√(1/1))=1 and (1/1)=1, thus substitute all nums and denoms with 1+1 like so ((1+1)/(1+1))+((1+1)/(1+1))+((1+1)/(1+1))≥3 1+1=2 and (2/2)=1 so 1+1+1≥3 3≥3 or 3=3 ✓ So a, b, and c all have to be at least ≥1 or the expression will NOT be ≥3 or a≥1, b≥1, c≥1, a+b+c≮3 −−−−−−−−−−−−−−− Work smarter, not harder ;p

$$\mathrm{Easiest}\:\mathrm{way}\:\mathrm{I}\:\mathrm{thought}\:\mathrm{of}\:\mathrm{proving}\:\mathrm{this}\:\left(\mathrm{I}\:\mathrm{partially}\:\mathrm{solved}\:\mathrm{this}\right) \\ $$$$\mathrm{Let}\:{a}=\mathrm{1},\:{b}=\mathrm{1},\:\mathrm{and}\:{c}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{Hint}:\:\mathrm{if}\:\mathrm{any}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{these}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}\:\mathrm{then}\:\mathrm{expression}\:\mathrm{is}\:\mathrm{theoretically}\:\mathrm{undefined}\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\boldsymbol{\div}\:\mathrm{by}\:\mathrm{0}\right) \\ $$$$\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}}+\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}}+\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{all}\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}=\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}=\mathrm{1},\:\mathrm{thus}\:\mathrm{substitute}\:\mathrm{all}\:\mathrm{nums}\:\mathrm{and}\:\mathrm{denoms}\:\mathrm{with}\:\mathrm{1}+\mathrm{1}\:\mathrm{like}\:\mathrm{so} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\:\mathrm{so} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{3}\geqslant\mathrm{3}\:\mathrm{or}\:\mathrm{3}=\mathrm{3}\:\checkmark \\ $$$$\mathrm{So}\:{a},\:{b},\:\mathrm{and}\:{c}\:\mathrm{all}\:\mathrm{have}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\geqslant\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{the}\:\mathrm{expression}\:\mathrm{will}\:\mathrm{NOT}\:\mathrm{be}\:\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{or}\:{a}\geqslant\mathrm{1},\:{b}\geqslant\mathrm{1},\:{c}\geqslant\mathrm{1},\:{a}+{b}+{c}\nless\mathrm{3} \\ $$$$−−−−−−−−−−−−−−− \\ $$$$\mathrm{Work}\:\mathrm{smarter},\:\mathrm{not}\:\mathrm{harder}\:;\mathrm{p} \\ $$

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