Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

None Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in None      Next in None      

Question Number 204978 by SANOGO last updated on 04/Mar/24

Answered by witcher3 last updated on 04/Mar/24

Soit U_n ^k  une suite de cauchy  Dans C_0   ∀k  U_n ^k ∈C_ ^N ;lim_(n→∞) U_n =0  “k→U_n ^k  est une suite”   ∀k∈N U_n ^k  est de est[une suite de cauchy Dans C qui est complet  donc elle cv pour ∣∣.∣∣_∞ “les norme sont equivalente en dimension finie”  on pose  U_n ^∞ =lim_(k→∞) U_n ^k   ⇒ lim_(k→∞) sup_n ∣U_n ^∞ −U_n ^k ∣=0  ∀n∈N  ∣U_n ^∞ −U_n ^k ∣≤sup_n ∣u_n ^∞ −u_n ^k ∣→0  ⇒∣U_n ^∞ −U_n ^k ∣→^k 0  ⇒∀ε> ∃ N∈N  ∀K≥N   −ε+U_n ^k ≤ U_n ^∞ ≤ε+U_n ^k ;∀k  U_n ^k ∈C_0 ⇒∀ε′>0 ∃N′∈N  ∀n≥N′   ∣U_n ^k −0∣<ε′  N^∗ =max (N,N′);∀ n,k≥N^∗   ⇒−ε−ε′≤U_n ^∞ ≤ε+ε′;ε controle par k ,ε′ par n  ε peut etre aussi petit Qu on veut u_n ^k  cv ver u_n ^∞   ε′ aussi petit Qu on veut U_n ^k →^(n→∞) 0  ⇒lim_(n→∞) U_n ^∞ =0∈C_0 ⇒Donc C_0  est de banach

$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cauchy}\:\:\mathrm{Dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\forall\mathrm{k}\:\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \in\mathrm{C}_{} ^{\mathbb{N}} ;\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}U}_{\mathrm{n}} =\mathrm{0} \\ $$$$``\mathrm{k}\rightarrow\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}''\: \\ $$$$\forall\mathrm{k}\in\mathbb{N}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{est}\left[\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cauchy}\:\mathrm{Dans}\:\mathrm{C}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est}\:\mathrm{complet}\right. \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{elle}\:\mathrm{cv}\:\mathrm{pour}\:\mid\mid.\mid\mid_{\infty} ``\mathrm{les}\:\mathrm{norme}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{equivalente}\:\mathrm{en}\:\mathrm{dimension}\:\mathrm{finie}'' \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{pose}\:\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} =\underset{\mathrm{k}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{\mathrm{k}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}su}\underset{\mathrm{n}} {\mathrm{p}}\mid\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} −\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mid=\mathrm{0} \\ $$$$\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}\:\:\mid\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} −\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mid\leqslant\mathrm{sup}_{\mathrm{n}} \mid\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\infty} −\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mid\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} −\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mid\overset{\mathrm{k}} {\rightarrow}\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\forall\epsilon>\:\exists\:\mathrm{N}\in\mathbb{N}\:\:\forall\mathrm{K}\geqslant\mathrm{N}\:\:\:−\epsilon+\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \leqslant\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} \leqslant\epsilon+\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} ;\forall\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \in\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \Rightarrow\forall\epsilon'>\mathrm{0}\:\exists\mathrm{N}'\in\mathbb{N}\:\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{N}'\:\:\:\mid\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} −\mathrm{0}\mid<\epsilon' \\ $$$$\mathrm{N}^{\ast} =\mathrm{max}\:\left(\mathrm{N},\mathrm{N}'\right);\forall\:\mathrm{n},\mathrm{k}\geqslant\mathrm{N}^{\ast} \\ $$$$\Rightarrow−\epsilon−\epsilon'\leqslant\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} \leqslant\epsilon+\epsilon';\epsilon\:\mathrm{controle}\:\mathrm{par}\:\mathrm{k}\:,\epsilon'\:\mathrm{par}\:\mathrm{n} \\ $$$$\epsilon\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{aussi}\:\mathrm{petit}\:\mathrm{Qu}\:\mathrm{on}\:\mathrm{veut}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cv}\:\mathrm{ver}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\infty} \\ $$$$\epsilon'\:\mathrm{aussi}\:\mathrm{petit}\:\mathrm{Qu}\:\mathrm{on}\:\mathrm{veut}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \overset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\rightarrow}\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} =\mathrm{0}\in\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \Rightarrow\mathrm{Donc}\:\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{banach} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com