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Question Number 204978 by SANOGO last updated on 04/Mar/24

Answered by witcher3 last updated on 04/Mar/24

Soit U_n ^k une suite de cauchy Dans C_0 ∀k U_n ^k ∈C_ ^N ;lim_(n→∞) U_n =0 “k→U_n ^k est une suite” ∀k∈N U_n ^k est de est[une suite de cauchy Dans C qui est complet donc elle cv pour ∣∣.∣∣_∞ “les norme sont equivalente en dimension finie” on pose U_n ^∞ =lim_(k→∞) U_n ^k ⇒ lim_(k→∞) sup_n ∣U_n ^∞ −U_n ^k ∣=0 ∀n∈N ∣U_n ^∞ −U_n ^k ∣≤sup_n ∣u_n ^∞ −u_n ^k ∣→0 ⇒∣U_n ^∞ −U_n ^k ∣→^k 0 ⇒∀ε> ∃ N∈N ∀K≥N −ε+U_n ^k ≤ U_n ^∞ ≤ε+U_n ^k ;∀k U_n ^k ∈C_0 ⇒∀ε′>0 ∃N′∈N ∀n≥N′ ∣U_n ^k −0∣<ε′ N^∗ =max (N,N′);∀ n,k≥N^∗ ⇒−ε−ε′≤U_n ^∞ ≤ε+ε′;ε controle par k ,ε′ par n ε peut etre aussi petit Qu on veut u_n ^k cv ver u_n ^∞ ε′ aussi petit Qu on veut U_n ^k →^(n→∞) 0 ⇒lim_(n→∞) U_n ^∞ =0∈C_0 ⇒Donc C_0 est de banach

$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cauchy}\:\:\mathrm{Dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\forall\mathrm{k}\:\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \in\mathrm{C}_{} ^{\mathbb{N}} ;\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}U}_{\mathrm{n}} =\mathrm{0} \\ $$$$``\mathrm{k}\rightarrow\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}''\: \\ $$$$\forall\mathrm{k}\in\mathbb{N}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{est}\left[\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cauchy}\:\mathrm{Dans}\:\mathrm{C}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est}\:\mathrm{complet}\right. \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{elle}\:\mathrm{cv}\:\mathrm{pour}\:\mid\mid.\mid\mid_{\infty} ``\mathrm{les}\:\mathrm{norme}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{equivalente}\:\mathrm{en}\:\mathrm{dimension}\:\mathrm{finie}'' \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{pose}\:\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} =\underset{\mathrm{k}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{\mathrm{k}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}su}\underset{\mathrm{n}} {\mathrm{p}}\mid\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} −\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mid=\mathrm{0} \\ $$$$\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}\:\:\mid\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} −\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mid\leqslant\mathrm{sup}_{\mathrm{n}} \mid\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\infty} −\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mid\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} −\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mid\overset{\mathrm{k}} {\rightarrow}\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\forall\epsilon>\:\exists\:\mathrm{N}\in\mathbb{N}\:\:\forall\mathrm{K}\geqslant\mathrm{N}\:\:\:−\epsilon+\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \leqslant\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} \leqslant\epsilon+\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} ;\forall\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \in\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \Rightarrow\forall\epsilon'>\mathrm{0}\:\exists\mathrm{N}'\in\mathbb{N}\:\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{N}'\:\:\:\mid\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} −\mathrm{0}\mid<\epsilon' \\ $$$$\mathrm{N}^{\ast} =\mathrm{max}\:\left(\mathrm{N},\mathrm{N}'\right);\forall\:\mathrm{n},\mathrm{k}\geqslant\mathrm{N}^{\ast} \\ $$$$\Rightarrow−\epsilon−\epsilon'\leqslant\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} \leqslant\epsilon+\epsilon';\epsilon\:\mathrm{controle}\:\mathrm{par}\:\mathrm{k}\:,\epsilon'\:\mathrm{par}\:\mathrm{n} \\ $$$$\epsilon\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{aussi}\:\mathrm{petit}\:\mathrm{Qu}\:\mathrm{on}\:\mathrm{veut}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cv}\:\mathrm{ver}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\infty} \\ $$$$\epsilon'\:\mathrm{aussi}\:\mathrm{petit}\:\mathrm{Qu}\:\mathrm{on}\:\mathrm{veut}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \overset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\rightarrow}\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}U}_{\mathrm{n}} ^{\infty} =\mathrm{0}\in\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \Rightarrow\mathrm{Donc}\:\mathrm{C}_{\mathrm{0}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{banach} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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