Question Number 204970 by mr W last updated on 04/Mar/24 | ||
Commented by mr W last updated on 04/Mar/24 | ||
$${the}\:{vertices}\:{of}\:{triangle}\:{PQR}\:{lie}\:{on} \\ $$$${each}\:{of}\:{the}\:{three}\:{touching}\:{circles} \\ $$$${with}\:{radii}\:{a},\:{b},\:{c}\:{respectively}. \\ $$$${find}\:{the}\:{maximum}\:{area}\:{of}\:{the} \\ $$$${triangle}. \\ $$ | ||
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$$\Delta=\sqrt{{abc}\left({a}+{b}+{c}\right)} \\ $$$${R}=\frac{{abc}}{\mathrm{4}\Delta}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\angle{A}=\frac{\mathrm{2}{R}}{{b}+{c}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\angle{B}=\frac{\mathrm{2}{R}}{{c}+{a}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({c}+{a}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\angle{C}=\frac{\mathrm{2}{R}}{{a}+{b}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({a}+{b}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\angle{A}=\frac{\left({c}+{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\left({b}+{c}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)}=\frac{{a}\left({a}+{b}+{c}\right)−{bc}}{\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\angle{B}=\frac{\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left({b}+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\left({c}+{a}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left({a}+{b}\right)\left({b}+{c}\right)}=\frac{{b}\left({a}+{b}+{c}\right)−{ca}}{\left({a}+{b}\right)\left({b}+{c}\right)} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\angle{C}=\frac{\left({b}+{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left({c}+{a}\right)^{\mathrm{2}} −\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)\left({c}+{a}\right)}=\frac{{c}\left({a}+{b}+{c}\right)−{ab}}{\left({b}+{c}\right)\left({c}+{a}\right)} \\ $$$$\alpha+\beta+\gamma=\mathrm{2}\pi \\ $$$${according}\:{to}\:{Q}\mathrm{206922} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\left(\alpha−\angle{A}\right)=\mathrm{sin}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\angle{A}−\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{sin}\:\angle{A} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\left(\alpha−\angle{A}\right)=\frac{{a}\left({a}+{b}+{c}\right)−{bc}}{\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)}×\mathrm{sin}\:\alpha−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}}×\mathrm{cos}\:\alpha \\ $$$$\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)\:\mathrm{sin}\:\left(\alpha−\angle{A}\right)=\left[{a}\left({a}+{b}+{c}\right)−{bc}\right]\:\mathrm{sin}\:\alpha−\frac{\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)}{\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}}×\mathrm{cos}\:\alpha \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\alpha−\angle{A}\right)=\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\angle{A}+\mathrm{sin}\:\alpha\:\mathrm{sin}\:\angle{A} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\alpha−\angle{A}\right)=\frac{{a}\left({a}+{b}+{c}\right)−{bc}}{\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)}×\mathrm{cos}\:\alpha+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}}×\mathrm{sin}\:\alpha \\ $$$$\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)\mathrm{cos}\:\:\left(\alpha−\angle{A}\right)=\left[{a}\left({a}+{b}+{c}\right)−{bc}\right]\:\mathrm{cos}\:\alpha+\frac{\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)}{\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}}×\mathrm{sin}\:\alpha \\ $$$${x}=\frac{\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)\:\mathrm{sin}\:\left(\alpha−\angle{A}\right)}{\:\sqrt{\left({c}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\gamma+\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\beta+\mathrm{2}\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)\:\mathrm{sin}\:\beta\:\mathrm{sin}\:\gamma\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha−\angle{A}\right)}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\left[{a}\left({a}+{b}+{c}\right)−{bc}\right]\:\mathrm{sin}\:\alpha−\frac{\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)}{\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}}×\mathrm{cos}\:\alpha}{\:\sqrt{\left({c}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\gamma+\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\beta+\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\beta\:\mathrm{sin}\:\gamma\:\left\{\left[{a}\left({a}+{b}+{c}\right)−{bc}\right]\:\mathrm{cos}\:\alpha+\frac{\left({c}+{a}\right)\left({a}+{b}\right)}{\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)}\sqrt{\frac{{abc}}{{a}+{b}+{c}}}×\mathrm{sin}\:\alpha\right\}}} \\ $$$${y}=\frac{\left({a}+{b}\right)\left({b}+{c}\right)\:\mathrm{sin}\:\left(\beta−\angle{B}\right)}{\:\sqrt{\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\alpha+\left({b}+{c}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\gamma+\mathrm{2}\left({a}+{b}\right)\left({b}+{c}\right)\:\mathrm{sin}\:\gamma\:\mathrm{sin}\:{a}\:\mathrm{cos}\:\left(\beta−\angle{B}\right)}} \\ $$$${z}=\frac{\left({b}+{c}\right)\left({c}+{a}\right)\:\mathrm{sin}\:\left(\gamma−\angle{C}\right)}{\:\sqrt{\left({b}+{c}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\beta+\left({c}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\alpha+\mathrm{2}\left({b}+{c}\right)\left({c}+{a}\right)\:\mathrm{sin}\:\alpha\:\mathrm{sin}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\gamma−\angle{C}\right)}} \\ $$$${p}=\sqrt{\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({y}+{b}\right)\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{cos}\:\alpha} \\ $$$${q}=\sqrt{\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({z}+{c}\right)\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{cos}\:\beta} \\ $$$${r}=\sqrt{\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+{a}\right)\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{cos}\:\gamma} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\angle{Q}_{\mathrm{2}} }{{z}+{c}}=\frac{\mathrm{sin}\:\angle{R}_{\mathrm{1}} }{{y}+{b}}=\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{{p}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\angle{Q}_{\mathrm{2}} =\frac{\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{sin}\:\alpha}{\:\sqrt{\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({y}+{b}\right)\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{cos}\:\alpha}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\angle{R}_{\mathrm{1}} =\frac{\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{sin}\:\alpha}{\:\sqrt{\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({y}+{b}\right)\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{cos}\:\alpha}} \\ $$$${similarly} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\angle{R}_{\mathrm{2}} =\frac{\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{sin}\:\beta}{\:\sqrt{\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({z}+{c}\right)\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{cos}\:\beta}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\angle{P}_{\mathrm{1}} =\frac{\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{sin}\:\beta}{\:\sqrt{\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({z}+{c}\right)\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{cos}\:\beta}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\angle{P}_{\mathrm{2}} =\frac{\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{sin}\:\gamma}{\:\sqrt{\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+{a}\right)\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{cos}\:\gamma}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\angle{Q}_{\mathrm{1}} =\frac{\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{sin}\:\gamma}{\:\sqrt{\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+{a}\right)\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{cos}\:\gamma}} \\ $$$$\angle{P}_{\mathrm{1}} =\angle{Q}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{sin}\:\beta}{\:\sqrt{\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({z}+{c}\right)\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{cos}\:\beta}}=\frac{\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{sin}\:\alpha}{\:\sqrt{\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({y}+{b}\right)\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{cos}\:\alpha}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{\mathrm{sin}\:\beta}=\frac{\sqrt{\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({y}+{b}\right)\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{cos}\:\alpha}}{\:\sqrt{\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({z}+{c}\right)\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{cos}\:\beta}}\:\:\:...\left({i}\right) \\ $$$$\angle{Q}_{\mathrm{1}} =\angle{R}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{sin}\:\gamma}{\:\sqrt{\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+{a}\right)\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{cos}\:\gamma}}=\frac{\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{sin}\:\beta}{\:\sqrt{\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({z}+{c}\right)\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{cos}\:\beta}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{sin}\:\beta}{\mathrm{sin}\:\gamma}=\frac{\sqrt{\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({z}+{c}\right)\left({x}+{a}\right)\:\mathrm{cos}\:\beta}}{\:\sqrt{\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+{a}\right)\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{cos}\:\gamma}}\:\:\:...\left({ii}\right) \\ $$$$\angle{R}_{\mathrm{1}} =\angle{P}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{sin}\:\alpha}{\:\sqrt{\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({y}+{b}\right)\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{cos}\:\alpha}}=\frac{\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{sin}\:\gamma}{\:\sqrt{\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+{a}\right)\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{cos}\:\gamma}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{sin}\:\gamma}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\frac{\sqrt{\left({x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+{a}\right)\left({y}+{b}\right)\:\mathrm{cos}\:\gamma}}{\:\sqrt{\left({y}+{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left({z}+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({y}+{b}\right)\left({z}+{c}\right)\:\mathrm{cos}\:\alpha}}\:\:\:...\left({iii}\right) \\ $$$${two}\:{of}\:{these}\:{three}\:{equations}\:{can}\:{be} \\ $$$${solved}\:{to}\:{get}\:\alpha,\:\beta\:{and}\:\gamma. \\ $$ | ||