Question Number 197188 by sonukgindia last updated on 10/Sep/23
Answered by witcher3 last updated on 10/Sep/23
![I=∫_0 ^1 ln(−x)(π−arcos(x))dx+∫_0 ^1 ln(x)arccos(x)dx =∫_0 ^1 arccos(x)(−ln(−x)+ln(x))+π∫_0 ^1 ln(−x)dx ln(−x)=ln(x)+iπ =iπ∫_0 ^1 arcos(x)dx+π∫_0 ^1 ln(x)+iπdx =iπ^2 +π[xln(x)−x]_0 ^1 +iπ[xcos^(−1) (x)]+∫_0 ^1 ((iπxdc)/( (√(1−x^2 )))) =iπ^2 −π ((iπ)/2)=−π+i((π/2)+π^2 ) = =∫_(−1) ^1 arccos(−x)=π−arccos(x)](Q197192.png)
$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(−\mathrm{x}\right)\left(\pi−\mathrm{arcos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{arccos}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{arccos}\left(\mathrm{x}\right)\left(−\mathrm{ln}\left(−\mathrm{x}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\pi\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{ln}\left(−\mathrm{x}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{i}\pi \\ $$$$=\mathrm{i}\pi\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{arcos}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\pi\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{i}\pi\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{i}\pi^{\mathrm{2}} +\pi\left[\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\mathrm{i}\pi\left[\mathrm{xcos}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\right]+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{i}\pi\mathrm{xdc}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\mathrm{i}\pi^{\mathrm{2}} −\pi\:\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}}=−\pi+\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\pi^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$= \\ $$$$=\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{arccos}\left(−\mathrm{x}\right)=\pi−\mathrm{arccos}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$