Question Number 195707 by sonukgindia last updated on 08/Aug/23
Answered by mr W last updated on 08/Aug/23
$${y}''={y}'\frac{{d}\left({y}'\right)}{{dy}} \\ $$$${p}={y}' \\ $$$${p}\frac{{dp}}{{dy}}=\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{3}} } \\ $$$${pdp}=\frac{{dy}}{{y}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\int{pdp}=\int\frac{{dy}}{{y}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\frac{{p}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} }+\frac{{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$${p}^{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{2}} }+{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{0}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow{C}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$${p}=\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{y}} \\ $$$${y}\frac{{dy}}{\:\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}={dx} \\ $$$$\int{y}\frac{{dy}}{\:\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\int{dx} \\ $$$$\int\frac{{dy}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\mathrm{2}\int{dx} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}={x}+{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\mathrm{1}+{C}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow{C}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}={x}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{y}^{\mathrm{2}} =\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}={x}\left({x}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow{y}=\pm\sqrt{{x}\left({x}−\mathrm{2}\right)} \\ $$