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Question Number 183847 by Michaelfaraday last updated on 30/Dec/22

Answered by MJS_new last updated on 31/Dec/22

5x^2 −7x=t (√(t+10))−(√(t−9))=1 (√(100))−(√(81))=1 t=90 x=−((18)/5)∨x=5

$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}={t} \\ $$$$\sqrt{{t}+\mathrm{10}}−\sqrt{{t}−\mathrm{9}}=\mathrm{1} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{100}}−\sqrt{\mathrm{81}}=\mathrm{1} \\ $$$${t}=\mathrm{90} \\ $$$${x}=−\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{5}}\vee{x}=\mathrm{5} \\ $$

Commented by Michaelfaraday last updated on 31/Dec/22

thanks sir

$${thanks}\:{sir} \\ $$

Commented by MJS_new last updated on 31/Dec/22

sometimes you need sharp eyes instead of sharp brains

$$\mathrm{sometimes}\:\mathrm{you}\:\mathrm{need}\:\mathrm{sharp}\:\mathrm{eyes}\:\mathrm{instead}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{sharp}\:\mathrm{brains} \\ $$

Answered by a.lgnaoui last updated on 31/Dec/22

(√(5x^2 −7x+10)) −(√((5x^2 −7x+10)−19)) )^2 =1 5x^2 −7x+10=z z+(z−19)−2(√(z(z−19)) =1 (√(z(z−19))) =10−z z(z−19)=100+z^2 −20z 100−z=0⇒z=100 5x^2 −7x−90=0 △=49+20×90=1849=43^2 x=((7±43)/(10)) x=5 x_1 =5 verification (√(125−35+10)) −(√(125−35−9)) =10−9=1

$$\left.\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}}\:−\sqrt{\left(\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}\right)−\mathrm{19}}\:\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}={z} \\ $$$${z}+\left({z}−\mathrm{19}\right)−\mathrm{2}\sqrt{{z}\left({z}−\mathrm{19}\right.}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\:\sqrt{{z}\left({z}−\mathrm{19}\right)}\:=\mathrm{10}−{z} \\ $$$$\:{z}\left({z}−\mathrm{19}\right)=\mathrm{100}+{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{20}{z} \\ $$$$\mathrm{100}−{z}=\mathrm{0}\Rightarrow{z}=\mathrm{100} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{90}=\mathrm{0} \\ $$$$\bigtriangleup=\mathrm{49}+\mathrm{20}×\mathrm{90}=\mathrm{1849}=\mathrm{43}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\frac{\mathrm{7}\pm\mathrm{43}}{\mathrm{10}}\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{5} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:{verification} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{125}−\mathrm{35}+\mathrm{10}}\:−\sqrt{\mathrm{125}−\mathrm{35}−\mathrm{9}}\:=\mathrm{10}−\mathrm{9}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$

Commented by Michaelfaraday last updated on 31/Dec/22

thanks sir

$${thanks}\:{sir} \\ $$

Answered by mr W last updated on 31/Dec/22

a=(√(5x^2 −7x+10)) b=(√(5x^2 −7x−9)) a−b=1 a^2 −b^2 =10−(−9)=19 (a−b)(a+b)=19 a+b=19 ⇒a=((1+19)/2)=10 (√(5x^2 −7x+10))=10 5x^2 −7x+10=10^2 5x^2 −7x−90=0 ⇒x=((7±43)/(10))=−((18)/5), 5 ✓

$${a}=\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}} \\ $$$${b}=\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{9}} \\ $$$${a}−{b}=\mathrm{1} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}−\left(−\mathrm{9}\right)=\mathrm{19} \\ $$$$\left({a}−{b}\right)\left({a}+{b}\right)=\mathrm{19} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{19} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{19}}{\mathrm{2}}=\mathrm{10} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}}=\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}=\mathrm{10}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{90}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{7}\pm\mathrm{43}}{\mathrm{10}}=−\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{5}},\:\mathrm{5}\:\checkmark \\ $$

Commented by Michaelfaraday last updated on 31/Dec/22

wow,thanks sir

$${wow},{thanks}\:{sir} \\ $$

Answered by manxsol last updated on 31/Dec/22

(√a)−(√b)=1 ((√a)+(√b))((√a)−(√b))=(√a)+(√b) (√a)+(√b)=19 add 2(√a)=20⇒ (√a)=10 (√b)=9 5x^2 −7x+10=100 5x^2 −7x−90=0 x1=5 x2=−((18)/5) 5x^2 −7x−9=81 5x^2 −7x−90=0 equal equation comprobation x1✓ x2✓ csolution={5,−((18)/5)}

$$\sqrt{{a}}−\sqrt{{b}}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\sqrt{{a}}+\sqrt{{b}}\right)\left(\sqrt{{a}}−\sqrt{{b}}\right)=\sqrt{{a}}+\sqrt{{b}} \\ $$$$\sqrt{{a}}+\sqrt{{b}}=\mathrm{19} \\ $$$${add} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{{a}}=\mathrm{20}\Rightarrow\:\:\sqrt{{a}}=\mathrm{10}\:\:\sqrt{{b}}=\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}=\mathrm{100} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{90}=\mathrm{0} \\ $$$${x}\mathrm{1}=\mathrm{5} \\ $$$${x}\mathrm{2}=−\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{9}=\mathrm{81} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{90}=\mathrm{0}\:{equal}\:{equation} \\ $$$${comprobation} \\ $$$${x}\mathrm{1}\checkmark \\ $$$${x}\mathrm{2}\checkmark \\ $$$${csolution}=\left\{\mathrm{5},−\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{5}}\right\} \\ $$

Commented by Michaelfaraday last updated on 31/Dec/22

thanks sir

$${thanks}\:{sir} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 31/Dec/22

(√(5x^2 −7x+10)) −(√(5x^2 −7x−9)) =1..(i) Multiplying by (√(5x^2 −7x+10)) +(√(5x^2 −7x−9)) to both sides: (5x^2 −7x+10)−(5x^2 −7x−9) =(√(5x^2 −7x+10)) +(√(5x^2 −7x−9)) (√(5x^2 −7x+10)) +(√(5x^2 −7x−9)) =19...(ii) (i)+(ii) 2(√(5x^2 −7x+10)) =20 5x^2 −7x+10=100 5x^2 −7x−90=0 (x−5)(5x+18)=0 x=5 ∨ x=−((18)/5)

$$\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}}\:−\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{9}}\:=\mathrm{1}..\left({i}\right) \\ $$$$\mathcal{M}{ultiplying}\:{by}\:\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{9}}\:{to}\:{both}\:{sides}: \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}\right)−\left(\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{9}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{9}}\: \\ $$$$ \\ $$$$\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}}\:+\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{9}}\:=\mathrm{19}...\left({ii}\right) \\ $$$$\left({i}\right)+\left({ii}\right) \\ $$$$\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}}\:=\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}=\mathrm{100} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{90}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{5}{x}+\mathrm{18}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{5}\:\vee\:{x}=−\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{5}}\: \\ $$

Commented by Michaelfaraday last updated on 31/Dec/22

thanks sir

$${thanks}\:{sir} \\ $$

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