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Question Number 172448 by Shrinava last updated on 27/Jun/22

Answered by Jamshidbek last updated on 28/Jun/22

Let ((1!!)/(0!))+((3!!)/(1!))+((5!!)/(2!))+...+(((2n+1)!!)/(n!))=a_n and a_(n+1) −a_n =(((2n+3)!!)/((n+1)!)) Ω=Σ_(n=0) ^∞ a_n ∙((2n+2)/((2n+3)!!))=Σ_(n=0) ^∞ a_n ∙((1/((2n+1)!!))−(1/((2n+3)!!)))= =Σ_(n=0) ^∞ ((a_n /((2n+1)!!))−(a_n /((2n+3)!!)))=Σ_(n=0) ^∞ (a_n /((2n+1)!!))−Σ_(n=0) ^∞ (a_n /((2n+3)!!)) (1) Σ_(n=0) ^∞ (a_n /((2n+1)!!))=a_0 +Σ_(n=1) ^∞ (a_n /((2n+1)!!))=a_0 +Σ_(n=0) ^∞ (a_(n+1) /((2n+3)!!)) (2) From (1) and (2) Ω=Σ_(n=0) ^∞ (a_n /((2n+1)!!))−Σ_(n=0) ^∞ (a_n /((2n+3)!!))=a_0 +Σ_(n=0) ^∞ (a_(n+1) /((2n+3)!!))−Σ_(n=0) ^∞ (a_n /((2n+3)!!))= =a_0 +Σ_(n=0) ^∞ ((a_(n+1) −a_n )/((2n+3)!!))=a_0 +Σ_(n=0) ^∞ (((2n+3)!!)/((n+1)!∙(2n+3)!!))=a_0 +Σ_(n=0) ^∞ (1/((n+1)!))= =a_0 +Σ_(n=1) ^∞ (1/(n!)) ⇒ a_0 =1 ⇒ Ω=1+Σ_(n=1) ^∞ (1/(n!)) e^x =Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!))=1+Σ_(n=1) ^∞ (x^n /(n!)) Put x=1 e=1+Σ_(n=1) ^∞ (1/(n!)) ⇒ Ω=e Answer:e Telegram: @math_undergraduate =

$$\mathrm{Let}\:\:\frac{\mathrm{1}!!}{\mathrm{0}!}+\frac{\mathrm{3}!!}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{5}!!}{\mathrm{2}!}+...+\frac{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}{\mathrm{n}!}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\Omega=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \centerdot\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \centerdot\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}\right)= \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}−\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{From}}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\boldsymbol{\mathrm{and}}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Omega=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}= \\ $$$$=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!\centerdot\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}= \\ $$$$=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}\:\Rightarrow\:\mathrm{a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\Omega=\mathrm{1}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}=\mathrm{1}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{e}=\mathrm{1}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}\:\Rightarrow\:\Omega=\mathrm{e} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Answer}}:\mathrm{e} \\ $$$$\mathrm{Telegram}:\:@\mathrm{math\_undergraduate} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$= \\ $$

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