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Question Number 167899 by peter frank last updated on 28/Mar/22

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 29/Mar/22

(x+1)^n =1+(_1 ^n )x+(_2 ^n )x^2 +...+(_(r−1) ^n )x^(r−1) +(_r ^n )x^r +...+x^n AP:((_(r−1) ^n ),(_r ^n ),(_(r+1) ^n )) (_r ^n )−(_(r−1) ^n )=(_(r+1) ^n )−(_r ^n ) ((n!)/(r!(n−r)!))−((n!)/((r−1)!(n−r+1)!))=((n!)/((r+1)!(n−r−1)!))−((n!)/(r!(n−r)!)) (1/(r(n−r)!))−(1/((n−r+1)!))=(1/((r+1)r(n−r−1)!))−(1/(r(n−r)!)) (1/(r(n−r)))−(1/((n−r+1)(n−r)))=(1/(r(r+1)))−(1/(r(n−r))) (1/(n−r))((1/r)−(1/(n−r+1)))=(1/r)((1/(r+1))−(1/(n−r))) (1/(n−r))(((n−2r+1)/(r(n−r+1))))=(1/r)(((n−2r−1)/((r+1)(n−r)))) ((n+1−2r)/(n+1−r))=((n−1−2r)/(r+1)) (n+1−2r)(r+1)=(n−1−2r)(n+1−r) n^2 −n−4nr−2+4r^2 =0 n^2 −n(4r+1)+4r^2 −2=0

$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\left(_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \right)\mathrm{x}+\left(_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +...+\left(_{\mathrm{r}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{r}−\mathrm{1}} +\left(_{\mathrm{r}} ^{\mathrm{n}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{r}} +...+\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{AP}:\left(\left(_{\mathrm{r}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \right),\left(_{\mathrm{r}} ^{\mathrm{n}} \right),\left(_{\mathrm{r}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \right)\right) \\ $$$$\left(_{\mathrm{r}} ^{\mathrm{n}} \right)−\left(_{\mathrm{r}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \right)=\left(_{\mathrm{r}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \right)−\left(_{\mathrm{r}} ^{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{r}!\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}\right)!}−\frac{\mathrm{n}!}{\left(\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)!\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)!}=\frac{\mathrm{n}!}{\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)!\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)!}−\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{r}!\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}\right)!} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}\right)!}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)!}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)\mathrm{r}\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)!}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}\right)!} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{r}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{r}+\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{r}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{r}}\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{2r}+\mathrm{1}}{\mathrm{r}\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{r}}\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{2r}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{r}\right)}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{2r}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{2r}}{\mathrm{r}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{2r}\right)\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)=\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{2r}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{r}\right) \\ $$$$\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{4nr}−\mathrm{2}+\mathrm{4r}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}\left(\mathrm{4r}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{4r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$

Commented by peter frank last updated on 29/Mar/22

thank you

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

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