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Question Number 159507 by cortano last updated on 18/Nov/21

Commented by tounghoungko last updated on 18/Nov/21

((5.5^(−2x) +5^3 .5^(−2x) )/((5/8).2^(2x) )) = 4 ⇔ 5^(−2x) +5^2 .5^(−2x) = (1/2).2^(2x) ⇔26.5^(−2x) = (1/2).2^(2x) ⇔ 52 = 10^(2x) ⇒x=(1/2)log _(10) (52)

$$\:\frac{\mathrm{5}.\mathrm{5}^{−\mathrm{2}{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{−\mathrm{2}{x}} }{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}.\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}} }\:=\:\mathrm{4} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{5}^{−\mathrm{2}{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{−\mathrm{2}{x}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{26}.\mathrm{5}^{−\mathrm{2}{x}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{52}\:=\:\mathrm{10}^{\mathrm{2}{x}} \:\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\:_{\mathrm{10}} \left(\mathrm{52}\right) \\ $$

Answered by Tokugami last updated on 18/Nov/21

((5^(1−2x) +(√(25^(3−2x) )))/(2^(2x−1) +2^(2x−3) ))=4 ((5^(1−2x) +(√(25^(3−2x) )))/(2^(2x−1) +2^(2x−3) ))=2^2 5^(1−2x) +(√(25^(3−2x) ))=2^(2x−1+2) +2^(2x−3+2) 5^(1−2x) +5^(3−2x) =2^(2x+1) +2^(2x−1) 5^(−2x) (5^1 +5^3 )=2^(2x) (2^1 +2^(−1) ) ((130)/5^(2x) )=2^(2x) ((5/2)) ((260)/5)=10^(2x) 52=10^(2x) ln(52)=2xln(10) 2x=((ln 52)/(ln 10))=log_(10) (52) x=(1/2)log_(10) (52) x≈0.858

$$\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}} +\sqrt{\mathrm{25}^{\mathrm{3}−\mathrm{2}{x}} }}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}} }=\mathrm{4} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}} +\sqrt{\mathrm{25}^{\mathrm{3}−\mathrm{2}{x}} }}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}} }=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{5}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}} +\sqrt{\mathrm{25}^{\mathrm{3}−\mathrm{2}{x}} }=\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{5}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{3}−\mathrm{2}{x}} =\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{5}^{−\mathrm{2}{x}} \left(\mathrm{5}^{\mathrm{1}} +\mathrm{5}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\frac{\mathrm{130}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}{x}} }=\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}} \left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{260}}{\mathrm{5}}=\mathrm{10}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\mathrm{52}=\mathrm{10}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{52}\right)=\mathrm{2}{x}\mathrm{ln}\left(\mathrm{10}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{x}=\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{52}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{10}}=\mathrm{log}_{\mathrm{10}} \left(\mathrm{52}\right) \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}_{\mathrm{10}} \left(\mathrm{52}\right) \\ $$$${x}\approx\mathrm{0}.\mathrm{858} \\ $$

Answered by qaz last updated on 18/Nov/21

((5^(1−2x) (√(25^(3−2x) )))/(2^(2x−1) +2^(2x−3) ))=((5^(1−2x) +5^(3−2x) )/(2^(2x−1) +2^(2x−3) ))=(((5+5^3 )5^(−2x) )/((2^(−1) +2^(−3) )2^(2x) ))=208∙10^(−2x) =4 ⇒x=(1/2)lg52

$$\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{1}−\mathrm{2x}} \sqrt{\mathrm{25}^{\mathrm{3}−\mathrm{2x}} }}{\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{1}−\mathrm{2x}} +\mathrm{5}^{\mathrm{3}−\mathrm{2x}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{3}} }=\frac{\left(\mathrm{5}+\mathrm{5}^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{5}^{−\mathrm{2x}} }{\left(\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{−\mathrm{3}} \right)\mathrm{2}^{\mathrm{2x}} }=\mathrm{208}\centerdot\mathrm{10}^{−\mathrm{2x}} =\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lg52} \\ $$

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