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Question Number 154507 by RB95 last updated on 19/Sep/21

Commented by RB95 last updated on 19/Sep/21

Salut Aidez −moi svp urgent merci

$${Salut} \\ $$$${Aidez}\:−{moi}\:{svp} \\ $$$${urgent} \\ $$$${merci} \\ $$

Answered by Jonathanwaweh last updated on 19/Sep/21

1)p_n =Π_(k=1) ^n 2^k^2 lnp_n )=Σ_(k=1) ^n ln(2^k^2 ) =Σ_(k=1) ^n k^2 ln2=((n(n+1)(2n+1))/6)ln2=ln2^((n(n+1)(2n+6))/6) d′ou p_n =2^((n(n+1)(2n+6))/6) S_(n ) =Σ_(k=1) ^n ln(u_k )=Σk^2 ln2=((n(n+1)(2n+1))/6)ln2 2−a)v_(n+1) −v_n =(√(lnu_(n+1) ))−(√(lnu_n ))=(√(n+1)^2 ln2))−(√(n^2 ln2))=(n+1)(√(ln2))−n(√(ln2))=(√(ln2)) donc(v_n ) est une suite arithmetique de raison (√(ln2)) nature ona v_(k+1) −v_k =(√)ln2⇒Σ_(k=1) ^(n−1) (v_(k+1) −v_k )=(√(ln2))Σ_(k=1) ^(n−1) 1⇔v_n −v_1 =(n−1)(√(ln2)) en fesant tendre la limite on voit que (v_n ) est une suite divergente

$$\left.\mathrm{1}\left.\right){p}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\mathrm{2}^{{k}^{\mathrm{2}} } \:\:\:\:\:{lnp}_{{n}} \right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{ln}\left(\mathrm{2}^{{k}^{\mathrm{2}} } \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} {ln}\mathrm{2}=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}{ln}\mathrm{2}={ln}\mathrm{2}^{\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{6}\right)}{\mathrm{6}}} \\ $$$${d}'{ou}\:{p}_{{n}} =\mathrm{2}^{\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{6}\right)}{\mathrm{6}}} \\ $$$${S}_{{n}\:} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{ln}\left({u}_{{k}} \right)=\Sigma{k}^{\mathrm{2}} {ln}\mathrm{2}=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}{ln}\mathrm{2} \\ $$$$\left.\mathrm{2}−{a}\right){v}_{{n}+\mathrm{1}} −{v}_{{n}} =\sqrt{{lnu}_{{n}+\mathrm{1}} }−\sqrt{{lnu}_{{n}} }=\sqrt{\left.{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {ln}\mathrm{2}}−\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} {ln}\mathrm{2}}=\left({n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{ln}\mathrm{2}}−{n}\sqrt{{ln}\mathrm{2}}=\sqrt{{ln}\mathrm{2}}\:{donc}\left({v}_{{n}} \right)\:{est}\:{une}\:{suite}\:{arithmetique}\:{de}\:{raison}\:\sqrt{{ln}\mathrm{2}} \\ $$$${nature}\:{ona}\:{v}_{{k}+\mathrm{1}} −{v}_{{k}} =\sqrt{}{ln}\mathrm{2}\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left({v}_{{k}+\mathrm{1}} −{v}_{{k}} \right)=\sqrt{{ln}\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{1}\Leftrightarrow{v}_{{n}} −{v}_{\mathrm{1}} =\left({n}−\mathrm{1}\right)\sqrt{{ln}\mathrm{2}}\:{en}\:{fesant}\:{tendre}\:{la}\:{limite}\:{on}\:{voit}\:{que}\:\left({v}_{{n}} \right)\:{est}\:{une}\:{suite}\:{divergente}\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by RB95 last updated on 19/Sep/21

Merci!

Answered by Jonathanwaweh last updated on 19/Sep/21

b)S_n =Σln(v_k )=Σ_(k=1) ^n ln((√(lnu_k )))=Σln((√(ln(2^k^2 ))) =Σln((√(k^2 ln2))) =Σ_(k=1) ^n ln(k(√(ln2))) =Σ_(k=1) ^n lnk+Σ_(k=1) ^n ln((√(ln2))))= =ln(n!)+nln((√(ln2))) 3−a)p_n =Πt_k =Πke^(−2k) on a lnp_n =Σln(ke^(−2k) ) =Σlnk+ln(e^(−2k) )=Σlnk−2k=n!−(n)(n+1) d′ou p_n =e^(ln(n!)−(n)(n+1)) =n!e^(−n(n+1)) b)lim_(n→+∞) t_n =lim_(n→∞) (n/e^(2n) )=0

$$\left.{b}\right){S}_{{n}} =\Sigma{ln}\left({v}_{{k}} \right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{ln}\left(\sqrt{{lnu}_{{k}} }\right)=\Sigma{ln}\left(\sqrt{{ln}\left(\mathrm{2}^{{k}^{\mathrm{2}} } \right)}\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\Sigma{ln}\left(\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} {ln}\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{ln}\left({k}\sqrt{{ln}\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{lnk}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{ln}\left(\sqrt{{ln}\mathrm{2}}\right)\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={ln}\left({n}!\right)+{nln}\left(\sqrt{{ln}\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{3}−{a}\right){p}_{{n}} =\Pi{t}_{{k}} =\Pi{ke}^{−\mathrm{2}{k}} \:\:{on}\:{a}\:\:{lnp}_{{n}} =\Sigma{ln}\left({ke}^{−\mathrm{2}{k}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\Sigma{lnk}+{ln}\left({e}^{−\mathrm{2}{k}} \right)=\Sigma{lnk}−\mathrm{2}{k}={n}!−\left({n}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${d}'{ou}\:{p}_{{n}} ={e}^{{ln}\left({n}!\right)−\left({n}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)} ={n}!{e}^{−{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\left.{b}\right)\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}{t}_{{n}} =\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}}{{e}^{\mathrm{2}{n}} }=\mathrm{0} \\ $$

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