Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

None Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in None      Next in None      

Question Number 145773 by help last updated on 07/Jul/21

Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Jul/21

→4r^2 +24r+37=0 Δ^′ =12^2 −4×37 =144−148=−4 ⇒ r_1 =((−12+2i)/4)=−3+(1/2)i and r_2 =((−12−2i)/4)=−3−(1/2)i y(x)=ae^(r_1 x) +be^(r_2 x) =ae^((−3+(i/2))x) +b e^((−3+(i/2))x) =e^(−3x) (αcos((x/2))+βsin((x/2))) y(π)=1 ⇒e^(−3π) (α0+β)=1 ⇒β=e^(3π) y^′ (x)=−3e^(−3x) (αcos((x/2))+βsin((x/2)))+e^(−3x) (−(α/2)sin((x/2))+(β/2)cos((x/2))) y^′ (π)=0 ⇒−3e^(−3π) (β)+e^(−3π) (−(α/2))=0 ⇒ −3−(e^(−3π) /2)α =0 ⇒(e^(−3π) /2)α=3 ⇒α=6 e^(3π) ⇒ y(x)=e^(−3x) (6e^(3π) cos((x/2))+e^(3π) sin((x/2))) =e^(3(π−x)) { cos((x/2))+sin((x/2))}

$$\rightarrow\mathrm{4r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{24r}+\mathrm{37}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{12}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}×\mathrm{37}\:=\mathrm{144}−\mathrm{148}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{12}+\mathrm{2i}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{12}−\mathrm{2i}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ae}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \:=\mathrm{ae}^{\left(−\mathrm{3}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{3}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \left(\alpha\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{y}\left(\pi\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\pi} \left(\alpha\mathrm{0}+\beta\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow\beta=\mathrm{e}^{\mathrm{3}\pi} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{3e}^{−\mathrm{3x}} \left(\alpha\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \left(−\frac{\alpha}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\beta}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\pi\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{3e}^{−\mathrm{3}\pi} \left(\beta\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\pi} \left(−\frac{\alpha}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{3}−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\pi} }{\mathrm{2}}\alpha\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\pi} }{\mathrm{2}}\alpha=\mathrm{3}\:\Rightarrow\alpha=\mathrm{6}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}\pi} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \left(\mathrm{6e}^{\mathrm{3}\pi} \mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{3}\pi} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{3}\left(\pi−\mathrm{x}\right)} \left\{\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com