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Question Number 109922 by Ar Brandon last updated on 26/Aug/20

Answered by 1549442205PVT last updated on 26/Aug/20

3x^2 +12xy+6y=0⇔x^2 +4xy+2y=0(1) i)Case x=0⇒y=0 substituting into first eqn. we see it satisfy,so we get y=0⇒(x,y)=(0,0)is a root ii)Case x≠0.From (1)we get y=((−x^2 )/(4x+2))(2) .Replace into first eqn. 3x^2 +6x.((−x^2 )/(4x+2))+6.(x^4 /(16x^2 +16x+4))+10x=0 ⇔6x^4 +48x^4 +48x^3 +12x^2 +160x^3 +160x^2 +40x−24x^4 −12x^3 =0 ⇔30x^4 +196x^3 +172x^2 +40x=0 ⇔15x^3 +98x^2 +86x+20=0.Multiplying two sides by 15^2 and put 15x=t we get t^3 +98t^2 +1290t+4500=0.Set t=u−((98)/3) After some simple transformation we obtain u^3 −((5734)/3)u+((866104)/(27))=0(∗) Putting u=(2/3)(√(5734))×z replace into (∗)we get ((8.5734(√(5734)))/(27))z^3 −((2.5734.(√(5734)))/9)z+((866104)/(27))=0 Multiplying two sides by ((27)/(2.5734(√(5734)))) we get 4z^3 −3z+((216526)/(2867(√(5734))))=0(∗∗).On the other hands,we have 4cos^3 v−3cosv−cos3v=0 .Hence Putting cos3v=((−216526)/(2867(√(5734)))) (3) we infer cosv are roots of (∗∗) (3)⇔3v=cos^(−1) (((−216526)/(2867(√(5734)))))+2kπ ⇔v=(1/3)[cos^(−1) (((−216526)/(2867(√(5734)))))+2kπ](k=0,1,2) Thus z=cosv=cos{(1/3)[cos^(−1) (((−216526)/(2867(√(5734)))))+2kπ]} are three different roots of (∗∗).Hence u=(2/3)(√(5734)) z=(2/3)(√(5734))cos{(1/3)[cos^(−1) (((−216526)/(2867(√(5734)))))+2kπ]}(k=0..2^(−) ) are three roots of (∗).From that we get x=((u−98/3)/(15))=(((2/3)(√(5734 )) cos{(1/3)[cos^(−1) (((−216526)/(2867(√(5734)))))+2kπ]}−((98)/3))/(15)) are three different roots of equation 15x^3 +98x^2 +86x+20=0 Replace into (2) we get corresponding values of y and obtain roots of given system

$$\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12xy}+\mathrm{6y}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4xy}+\mathrm{2y}=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{Case}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\mathrm{substituting}\:\mathrm{into}\:\mathrm{first}\:\mathrm{eqn}. \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{see}\:\mathrm{it}\:\mathrm{satisfy},\mathrm{so} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{y}=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{root} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{Case}\:\mathrm{x}\neq\mathrm{0}.\mathrm{From}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4x}+\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$.\mathrm{Replace}\:\mathrm{into}\:\mathrm{first}\:\mathrm{eqn}. \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}.\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4x}+\mathrm{2}}+\mathrm{6}.\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16x}+\mathrm{4}}+\mathrm{10x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{6x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{48x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{48x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{160x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{160x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{40x}−\mathrm{24x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{12x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{30x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{196x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{172x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{40x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{15x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{98x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{86x}+\mathrm{20}=\mathrm{0}.\mathrm{Multiplying} \\ $$$$\mathrm{two}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{by}\:\mathrm{15}^{\mathrm{2}} \mathrm{and}\:\mathrm{put}\:\mathrm{15x}=\mathrm{t}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{98t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1290t}+\mathrm{4500}=\mathrm{0}.\mathrm{Set}\:\mathrm{t}=\mathrm{u}−\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{After}\:\mathrm{some}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{transformation}\:\mathrm{we} \\ $$$$\mathrm{obtain}\:\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{5734}}{\mathrm{3}}\mathrm{u}+\frac{\mathrm{866104}}{\mathrm{27}}=\mathrm{0}\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{u}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{5734}}×\mathrm{z}\:\mathrm{replace}\:\mathrm{into} \\ $$$$\left(\ast\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\frac{\mathrm{8}.\mathrm{5734}\sqrt{\mathrm{5734}}}{\mathrm{27}}\mathrm{z}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{2}.\mathrm{5734}.\sqrt{\mathrm{5734}}}{\mathrm{9}}\mathrm{z}+\frac{\mathrm{866104}}{\mathrm{27}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Multiplying}\:\mathrm{two}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{by}\:\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{2}.\mathrm{5734}\sqrt{\mathrm{5734}}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{4z}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3z}+\frac{\mathrm{216526}}{\mathrm{2867}\sqrt{\mathrm{5734}}}=\mathrm{0}\left(\ast\ast\right).\mathrm{On}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{other}\:\mathrm{hands},\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{v}−\mathrm{3cosv}−\mathrm{cos3v}=\mathrm{0}\:.\mathrm{Hence} \\ $$$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{cos3v}=\frac{−\mathrm{216526}}{\mathrm{2867}\sqrt{\mathrm{5734}}}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{infer} \\ $$$$\mathrm{cosv}\:\mathrm{are}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\left(\ast\ast\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\Leftrightarrow\mathrm{3v}=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{−\mathrm{216526}}{\mathrm{2867}\sqrt{\mathrm{5734}}}\right)+\mathrm{2k}\pi \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{v}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{−\mathrm{216526}}{\mathrm{2867}\sqrt{\mathrm{5734}}}\right)+\mathrm{2k}\pi\right]\left(\mathrm{k}=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Thus}\:\mathrm{z}=\mathrm{cosv}=\mathrm{cos}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{−\mathrm{216526}}{\mathrm{2867}\sqrt{\mathrm{5734}}}\right)+\mathrm{2k}\pi\right]\right\} \\ $$$$\mathrm{are}\:\mathrm{three}\:\mathrm{different}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\left(\ast\ast\right).\mathrm{Hence} \\ $$$$\mathrm{u}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{5734}}\:\mathrm{z}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{5734}}\mathrm{cos}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{−\mathrm{216526}}{\mathrm{2867}\sqrt{\mathrm{5734}}}\right)+\mathrm{2k}\pi\right]\right\}\left(\mathrm{k}=\overline {\mathrm{0}..\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{are}\:\mathrm{three}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\left(\ast\right).\mathrm{From}\:\mathrm{that}\:\mathrm{we} \\ $$$$\mathrm{get}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{u}−\mathrm{98}/\mathrm{3}}{\mathrm{15}}=\frac{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{5734}\:}\:\mathrm{cos}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{−\mathrm{216526}}{\mathrm{2867}\sqrt{\mathrm{5734}}}\right)+\mathrm{2k}\pi\right]\right\}−\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{15}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{are}}\:\boldsymbol{\mathrm{three}}\:\boldsymbol{\mathrm{different}}\:\boldsymbol{\mathrm{roots}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\boldsymbol{\mathrm{equation}} \\ $$$$\mathrm{15}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{98}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{86}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{20}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Replace}}\:\boldsymbol{\mathrm{into}}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{get}}\:\boldsymbol{\mathrm{corresponding}}\:\boldsymbol{\mathrm{values}} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{y}\:\mathrm{and}\:\mathrm{obtain}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{given}\:\mathrm{system} \\ $$

Commented by Ar Brandon last updated on 27/Aug/20

Thanks so much, Sir.

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