Question Number 100986 by Dwaipayan Shikari last updated on 29/Jun/20
Commented by bachamohamed last updated on 29/Jun/20
$$\boldsymbol{{look}}\:\boldsymbol{{this}}\: \\ $$$$\mathrm{2}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{9}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{8}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{64}}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{63}}}} \\ $$$$\:\:=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{63}^{\mathrm{2}} }}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\left(\mathrm{63}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}}}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\left(\left(\mathrm{63}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} }}}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}.....+\sqrt{\mathrm{1}........\infty}}}} \\ $$$$\mathrm{3}=\sqrt{\mathrm{9}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{64}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{63}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{63}^{\mathrm{2}} }}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}......\infty}}}} \\ $$$$\mathrm{4}=\sqrt{\mathrm{16}}=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{15}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{225}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{224}}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{224}^{\mathrm{2}} }}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}...\sqrt{....\sqrt{\mathrm{1}...\infty}}}}} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{posituve}\:\boldsymbol{{n}} \\ $$$$\boldsymbol{{n}}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}.....\infty}}}} \\ $$$$\boldsymbol{{why}}? \\ $$