Question Number 74980 by ~blr237~ last updated on 05/Dec/19
![Prove that for n∈N^∗ Σ_(p=0) ^(n−1) [x+(p/n)]=[nx]](Q74980.png)
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} \\ $$$$\:\underset{\mathrm{p}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]=\left[\mathrm{nx}\right] \\ $$
Answered by mind is power last updated on 05/Dec/19
![let f(x)=Σ_(p=0) ^(n−1) [x+(p/n)] f(x+(1/n))=Σ_(p=0) ^(n−1) [x+(1/n)+(p/n)]=Σ_(p=1) ^n [x+(p/n)]=Σ_(p=1) ^(n−1) [x+(p/n)]+[x+1]=1+[x]+Σ_(p=1) ^(n−1) [x+(p/n)] =1+Σ_(p=0) ^(n−1) [x+(p/n)]=1+f(x)....E g(x)=[nx] g(x+(1/n))=[n(x+(1/n))]=1+[nx] ⇒we have juste to show for x∈[0,(1/n)[ x∈[0,(1/n)[⇒x+(p/n)<(1/n)+((n−1)/n)<1,∀p∈[0,n−1] ⇒f(x)=0 x<(1/n)⇒nx<1⇒g(x)=0 g(x)=f(x)=0,∀x∈[0,(1/n)[⇒f(x)=g(x),∀x∈R withe ∀x∈R if x∈[0,(1/n)[ we are donne x=((E(nx))/n)+x−((E(nx))/n) x−((E(nx))/n)∈[0,(1/n)[ E(nx)≤nx⇒x−((E(nx))/n)>0 nx−1<E(nx) ⇒((E(nx))/n)>x−(1/n)⇒x−((E(nx))/n)<(1/n) ⇒f(x)=f(((E(nx))/n)+{x−((E(nx))/n)}) E(nx)+f(x−((E(nx))/n))=k since f=0 in [0,(1/n)[ g(((E(nx))/n)+x−((E(nx))/n))=E(nx)+g(x−((E(nx))/n))=E(nx) since g=0 in [0,(1/n)[ ⇒g(x)=f(x),∀x∈R](Q74990.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{p}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right] \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)=\underset{\mathrm{p}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]=\underset{\mathrm{p}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]=\underset{\mathrm{p}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]+\left[\mathrm{x}+\mathrm{1}\right]=\mathrm{1}+\left[\mathrm{x}\right]+\underset{\mathrm{p}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right] \\ $$$$=\mathrm{1}+\underset{\mathrm{p}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]=\mathrm{1}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)....\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left[\mathrm{nx}\right] \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)=\left[\mathrm{n}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\right]=\mathrm{1}+\left[\mathrm{nx}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{juste}\:\mathrm{to}\:\mathrm{show}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\Rightarrow\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}}<\mathrm{1},\forall\mathrm{p}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{n}−\mathrm{1}\right]\right.\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\Rightarrow\mathrm{nx}<\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0},\forall\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\:\mathrm{withe}\:\right.\right. \\ $$$$\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\:\mathrm{we}\:\mathrm{are}\:\mathrm{donne}\right.\right. \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}+\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)\leqslant\mathrm{nx}\Rightarrow\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{nx}−\mathrm{1}<\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)\:\Rightarrow\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}>\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\Rightarrow\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}+\left\{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\right\}\right) \\ $$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{k}\:\mathrm{since}\:\mathrm{f}=\mathrm{0}\:\mathrm{in}\:\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}+\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$\mathrm{since}\:\:\mathrm{g}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{in}\:\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\right.\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$