Question Number 126990 by physicstutes last updated on 26/Dec/20 | ||
$$\mathrm{Obtain}\:\mathrm{a}\:\mathrm{formula}\:\mathrm{for}\: \\ $$$$\:{I}_{{n}} \:=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\int}}\left[{x}\right]\:{dx}\:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:{n} \\ $$$$\:\mathrm{where}\:\left[{x}\right]\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{greatest}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{function}\:\mathrm{of}\:{x}. \\ $$ | ||
Answered by mr W last updated on 26/Dec/20 | ||
$$\:{I}_{{n}} \:=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\int}}\left[{x}\right]\:{dx} \\ $$$$\:\:=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \left[{x}\right]\:{dx} \\ $$$$\:\:=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{k}\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{dx} \\ $$$$\:\:=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{k}=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||